函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数

对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，

特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.

§1 级数的收敛性

函数列及其一致收敛性

设

\[ f _ {1}, f _ {2}, \dots , f _ {n}, \dots \tag {1} \]

是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列. (1) 也可记为

\[ \{f _ {n} \} \text {或} f _ {n}, n = 1, 2, \ldots \]

以 \(x_{0} \in E\) 代入 (1)，可得数列

\[ f _ {1} (x _ {0}), f _ {2} (x _ {0}),..., f _ {n} (x _ {0}),... \tag {2} \]

如果数列 (2) 收敛，则称函数列 (1) 在点 \(x_{0}\) 收敛， \(x_{0}\) 称为函数列 (1) 的收敛点。如果数列 (2) 发散，则称函数列 (1) 在点 \(x_{0}\) 发散。

当函数列 (1) 在数集 \(D \subset E\) 上每一个点都收敛时，就称 (1) 在数集 \(D\) 上收敛。这时 \(D\) 上每一点 \(x\) 都有数列 \(f_{n}(x)\) 的一个极限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的 \(D\) 上的函数，称为函数列 (1) 的极限函数，若将此极限函数记作 \(f\) ，则有

\[ \lim _ {n \to \infty} f _ {n} (x) = f (x), x \in D \]

或

\[ f _ {n} (x) \rightarrow f (x) \quad (n \rightarrow \infty), x \in D. \]

定义（函数列极限的 \(\varepsilon - N\) 定义）

对每一固定的 \(x \in D\) ，任给正数 \(\varepsilon\) ，总存在正数 \(N\) ，（注意：一般说来 \(N\) 值与 \(\varepsilon\) 和 \(x\) 的值都有关，所以有时也用 \(N(\varepsilon, x)\) 表示三者之间的依赖关系）使当 \(n > N\) 时，总有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| < \varepsilon \]

使函数列 \(\{f_{n}\}\) 收敛的全体收敛点集合，称为函数列 \(\{f_{n}\}\) 的收敛域。

例 (1)

设 \(f_{n}(x) = x^{n}, n = 1,2,\ldots\) 为定义在 \((- \infty ,\infty)\) 上的函数列，证明它的收敛域是 \((-1,1]\) ，且有极限函数

\[ f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & | x | < 1, \\ 1, & x = 1. \end{array} \right. \tag {3} \]

证明.

任给 \(\varepsilon > 0\) （不妨设 \(\varepsilon < 1\) ），当 \(0 < |x| < 1\) 时，由于

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| = \left| x ^ {n} \right|, \]

只要取 \(N(\varepsilon, x) = \frac{\ln \varepsilon}{\ln |x|}\) ，当 \(n > N(\varepsilon, x)\) 时，就有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| = | x | ^ {n} < | x | ^ {N} = \varepsilon \]

当 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 时，对任何正整数 \(n\) ，都有

\[ \begin{array}{l} \left| f _ {n} (0) - f (0) \right| = 0 < \varepsilon , \\ \left| f _ {n} (1) - f (1) \right| = 0 < \varepsilon . \\ \end{array} \]

这就证明了 \(\{f_{n}\}\) 在 \((-1,1]\) 上收敛，且极限就是 (3) 式所表示的函数。

又当 \(|x| > 1\) 时，有 \(|x|^n \to +\infty (n \to \infty)\) ，当 \(x = -1\) 时，对应的数列为 - 1,1,-1,1,...，显然是发散的。所以函数列 \(\{x^n\}\) 在区间 (-1,1] 外都是发散的。故所讨论的函数列的收敛域是 (-1,1]。

例 (1)

设 \(f_{n}(x) = x^{n}, n = 1,2,\ldots\) 为定义在 \((- \infty ,\infty)\) 上的函数列，证明它的收敛域是 \((-1,1]\) ，且有极限函数

\[ f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & | x | < 1, \\ 1, & x = 1. \end{array} \right. \tag {3} \]

证明.

任给 \(\varepsilon > 0\) （不妨设 \(\varepsilon < 1\) ），当 \(0 < |x| < 1\) 时，由于

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| = \left| x ^ {n} \right|, \]

只要取 \(N(\varepsilon, x) = \frac{\ln \varepsilon}{\ln |x|}\) ，当 \(n > N(\varepsilon, x)\) 时，就有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| = | x | ^ {n} < | x | ^ {N} = \varepsilon \]

当 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 时，对任何正整数 \(n\) ，都有

\[ \begin{array}{l} \left| f _ {n} (0) - f (0) \right| = 0 < \varepsilon , \\ | f _ {n} (1) - f (1) | = 0 < \varepsilon . \\ \end{array} \]

这就证明了 \(\{f_{n}\}\) 在 \((-1,1]\) 上收敛，且极限就是 (3) 式所表示的函数。

又当 \(|x| > 1\) 时，有 \(|x|^n \to +\infty (n \to \infty)\) ，当 \(x = -1\) 时，对应的数列为 - 1,1,-1,1,...，显然是发散的。所以函数列 \(\{x^n\}\) 在区间 (-1,1] 外都是发散的。故所讨论的函数列的收敛域是 (-1,1]。

例 (1)

设 \(f_{n}(x) = x^{n}, n = 1,2,\ldots\) 为定义在 \((- \infty ,\infty)\) 上的函数列，证明它的收敛域是 \((-1,1]\) ，且有极限函数

\[ f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & | x | < 1, \\ 1, & x = 1. \end{array} \right. \tag {3} \]

证明.

任给 \(\varepsilon > 0\) （不妨设 \(\varepsilon < 1\) ），当 \(0 < |x| < 1\) 时，由于

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| = \left| x ^ {n} \right|, \]

只要取 \(N(\varepsilon, x) = \frac{\ln \varepsilon}{\ln |x|}\) ，当 \(n > N(\varepsilon, x)\) 时，就有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| = | x | ^ {n} < | x | ^ {N} = \varepsilon \]

当 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 时，对任何正整数 \(n\) ，都有

\[ \begin{array}{l} \left| f _ {n} (0) - f (0) \right| = 0 < \varepsilon , \\ | f _ {n} (1) - f (1) | = 0 < \varepsilon . \\ \end{array} \]

这就证明了 \(\{f_{n}\}\) 在 \((-1,1]\) 上收敛，且极限就是 (3) 式所表示的函数。

又当 \(|x| > 1\) 时，有 \(|x|^n \to +\infty (n \to \infty)\) ，当 \(x = -1\) 时，对应的数列为 - 1,1,-1,1,...，显然是发散的。所以函数列 \(\{x^n\}\) 在区间 (-1,1] 外都是发散的。故所讨论的函数列的收敛域是 (-1,1]。

例 (2)

定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上的函数列 \(f_{n}(x) = \frac{\sin nx}{n}\) , \(n = 1,2,\ldots\)

对于任何实数 x，都有

\[ | \frac {\sin n x}{n} | \leq \frac {1}{n}, \]

故对任给的 \(\varepsilon > 0\) ，只要 \(n > N = \frac{1}{\varepsilon}\) ，就有

\[ | \frac {\sin n x}{n} - 0 | < \varepsilon \]

所以函数列 \(\left\{\frac{\sin nx}{n}\right\}\) 的收敛域为 \((- \infty, + \infty)\) ，极限函数为 \(f(x) = 0\) 。

注 对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。

例如，1) 能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导性；

2) 极限函数的导数或积分是否分别是函数列每项导数或积分的极限。

对这些更深刻问题的讨论，必须对它在 D 上的收敛性提出更高的要求才行。

定义 (一致收敛)

设函数列 \(\{f_n\}\) 与函数 \(f\) 定义在同一数集 \(D\) 上，若对任给的正数 \(\varepsilon\) ，总存在某一正整数 \(N\) ，使当 \(n > N\) 时，对一切 \(x\in D\) ，都有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| < \varepsilon , \]

则称函数列 \(\{f_n\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f\) ，记作

\[ f _ {n} (x) \Rightarrow f (x) (n \rightarrow \infty), x \in D. \]

由定义看到，一致收敛就是对 \(D\) 上任何一点，函数列趋于极限函数的速度是 “一致” 的。这种一致性体现为：与 \(\varepsilon\) 相对应的 \(N\) 仅与 \(\varepsilon\) 有关，而与 \(x\) 在 \(D\) 上的取值无关，因而把这个对所有 \(x\) 都适用的 \(N\) 写作 \(N(\varepsilon)\) 。

显然，若函数列 \(\{f_n\}\) 在 \(D\) 上一致收敛，则必在 \(D\) 上每一点都收敛。反之，在 \(D\) 上每一点都收敛的函数列，它在 \(D\) 上不一定一致收敛。

例 2 中的函数列 \(\left\{\frac{\sin nx}{n}\right\}\) 是一致收敛的，因为对任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，不论 x 取 \((-∞,+∞)\) 上什么值，只要取 \(N=\frac{1}{ε}\) ，当 n>N 时，恒有 \(\left|\frac{\sin nx}{n}\right|<\varepsilon\) 。

所以函数列 \(\left\{\frac{\sin nx}{n}\right\}\) 在 \((-∞,+∞)\) 上一致收敛于 \(f(x)=0\) 。

函数列 \(\{f_{n}\}\) 在 \(D\) 上不一致收敛于 \(f\) 的正面描述

存在某正数 \(\varepsilon_{0}\) ，对任何正数 N，必定存在 \(x_{0} \in D\) 和正整数 \(n_{0} > N\) （注意： \(x_{0}\) 与 \(n_{0}\) 的取值与 N 有关），使得

\[ | f _ {n _ {0}} (x _ {0}) - f (x _ {0}) | \geq \varepsilon_ {0}. \]

例： \(\{x^{n}\}\) 在 \((0,1)\) 上不可能一致收敛于 0.

事实上，若取 \(\varepsilon_0 = \frac{1}{2}\) ，只要正整数 \(N \geq 2\) 取正整数 \(n_{0}=N\) 及 \(x_{0}=(1-\frac{1}{N})^{\frac{1}{N}}\in(0,1)\) ，就有

\[ | x _ {0} ^ {n _ {0}} - 0 | = 1 - \frac {1}{N} \geq \frac {1}{2}. \]

函数列 \(\{f_n\}\) 一致收敛于 \(f\) 的几何意义

\(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\) ，对于序号大于 \(N\) 的所有曲线 \(y = f_n(x)(n > N)\) ，都落在曲线 \(y = f(x) + \varepsilon\) 与 \(y = f(x) - \varepsilon\) 所夹的带状区域之内。

函数列 \(\{x^n\}\) 在区间 (0,1) 上不一致收敛的几何意义

就是存在某个预先给定的 \(\varepsilon (< 1)\) ，无论 \(N\) 多么大，总存在某条曲线 \(y = x^{n}(n > N)\) ，不能全部落在由 \(y = \varepsilon\) 与 \(y = -\varepsilon\) 夹成的带状区域内。

若函数列 \(\{x^{n}\}\) 只限于在区间 \([0,b](b<1)\) 上，则容易看到，只要 \(n>\frac{\ln\varepsilon}{\ln b}\) （其中 \(0<\varepsilon<1\) ），曲线 \(y=x^{n}\) 就全部落在 \(y=\varepsilon\) 和 \(y=-\varepsilon\) 所夹的带状区域内，所以 \(\{x^{n}\}\) 在 \([0,b]\) 上是一致收敛的。

课堂练习

\[ f _ {n} (x) = {\frac {n ^ {2} x}{1 + n ^ {4} x ^ {2}}} \quad {\text {在}} [ - a, a ] \]

上的一致收敛性

逐点收敛

课堂练习

\[ f _ {n} (x) = {\frac {n ^ {2} x}{1 + n ^ {4} x ^ {2}}} \quad {\text {在}} [ - a, a ] \]

上的一致收敛性

逐点收敛

定理 (13.1 函数列一致收敛的柯西准则)

\(\forall \varepsilon, \exists N,\) 使当 \(n,m > N\) 时， \(\forall x\in D\) ，都有函数列 \(\{f_n\}\) 在数集 \(D\) 上一致收敛 \(\iff\)

\[ \left| f _ {n} (x) - f _ {m} (x) \right| < \varepsilon . \tag {4} \]

证明.

\(\Rightarrow\) 设 \(f_{n}(x) \Rightarrow f(x)(n \to \infty), x \in D\) ，即对任给 \(\varepsilon > 0\) ，存在正数 \(N\) ，使得当 \(n > N\) 时，对一切 \(x \in D\) ，都有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| < \frac {\varepsilon}{2}. \tag {5} \]

于是当 \(n, m > N\) ，由 (5) 得

\[ | f _ {n} (x) - f _ {m} (x) | \leq | f _ {n} (x) - f (x) | + | f (x) - f _ {m} (x) | < \frac {\varepsilon}{2} + \frac {\varepsilon}{2} = \varepsilon . \]

定理 (13.1 函数列一致收敛的柯西准则)

\(\forall \varepsilon, \exists N,\) 使当 \(n,m > N\) 时， \(\forall x\in D\) ，都有函数列 \(\{f_n\}\) 在数集 \(D\) 上一致收敛 \(\iff\)

\[ \left| f _ {n} (x) - f _ {m} (x) \right| < \varepsilon . \tag {4} \]

证明.

\(\Leftarrow\) 若条件 \(|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon\) 成立，由数列收敛的柯西准则， \(\{f_n\}\) 在 \(D\) 上任一点 \(x\) 都收敛，记其极限函数为 \(f(x), x \in D\) 。

现固定 \(|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon\) 式中的 \(n\) ，让 \(m \to \infty\) ，于是当 \(n > N\) 时，对一切 \(x \in D\) 都有 \(|f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon\) 。由一致收敛定义知，

\[ f _ {n} (x) \rightrightarrows f (x) \quad (n \to \infty), x \in D. \]

根据一致收敛定义，可推出下述定理:

定理 (13.2 余项准则)

在区间 D 上 \(f_{n} \Rightarrow f \quad \Longleftrightarrow\)

\[ \lim _ {n \to \infty} \sup _ {x \in D} | f _ {n} (x) - f (x) | = 0. \tag {6} \]

证明.

\(\Rightarrow\) 若 \(f_{n}(x) \Rightarrow f(x) (n \to \infty), x \in D\) ，则 \(\forall \varepsilon, \exists\) 不依赖于 \(x\) 的正整数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时，有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| < \varepsilon , x \in D. \]

由上确界的定义，对所有 n > N，也有

\[ \sup _ {x \in D} | f _ {n} (x) - f (x) | \leq \varepsilon . \]

这样就得到了 (6) 式。

定理 (13.2 余项准则)

函数列 \(\{f_{n}\}\) 在区间 D 上一致收敛于 f \(\Longleftrightarrow\)

\[ \lim _ {n \to \infty} \sup _ {x \in D} | f _ {n} (x) - f (x) | = 0. \]

证明.

\(\Leftarrow\) 由假设，对 \(\forall \varepsilon >0\) ， \(\exists N\) ，使得当 \(n > N\) 时，有

\[ \sup _ {x \in D} | f _ {n} (x) - f (x) | \leq \varepsilon . \tag {7} \]

因为对一切 \(x \in D\) ，总有

\[ | f _ {n} (x) - f (x) | \leq \sup _ {x \in D} | f _ {n} (x) - f (x) |. \]

故由 (7) 式得 \(\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon\) ，于是 \(f_{n}\Rightarrow f\) 在 D 上。

注 柯西准则的特点是 不需要知道极限函数是什么，只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致收敛

而使用余项准则需要知道极限函数，但使用较为方便.

如例 2，由于

\[ \lim _ {n \to \infty} \sup _ {x \in (- \infty , + \infty)} | \frac {\sin n x}{n} - 0 | = \lim _ {n \to \infty} \frac {1}{n} = 0, \]

所以在 \((-\infty, +\infty)\) 上， \(\frac{\sin nx}{n} \Rightarrow 0 (n \to \infty)\) .

推论

在 D 上 \(f_{n} \not\Rightarrow f\) \(\Longleftrightarrow\) \(\exists \{x_{n}\} \subset D\) ，使得 \(|f_{n}(x_{n}) - f(x_{n})|\) 不收敛于 0.

课堂练习

讨论 \(f_{n}(x) = \frac{1}{nx + 1}\) 在 \(x\in (0,1]\) 的一致收敛性

例 (3)

\[ f _ {n} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 n ^ {2} x, & 0 \leq x \leq \frac {1}{2 n} \\ 2 n - 2 n ^ {2} x, & \frac {1}{2 n} \leq x \leq \frac {1}{n} \\ 0, & \frac {1}{n} < x < 1. \end{array} \right. \quad \text {on} [ 0, 1 ] \]

i) \(f_{n}(0) = 0\) ，故 \(f(0) = \lim_{n\to \infty}f_n(0) = 0\)

ii） \(0 < x \leq 1\) 时，只要 \(n > \frac{1}{x}\) ， \(f_n(x) = 0\)

故在 \([0,1]\) 上有 \(f(x) = \lim_{n\to \infty}f_n(x) = 0.\)

又由于 \(\sup_{x\in [0,1]}|f_n(x) - f(x)| = f_n(\frac{1}{2n}) = n\to \infty (n\to \infty)\) ，所以函数列 (8) 在 [0,1] 上不一致收敛。

例 (4)

\(\left\{f_n(x) = n^2 xe^{-n^2 x^2}\right\}, x \in [0,1]\) 的一致收敛性。

解 为了使用余项准则，首先求出函数列的极限函数。易见

\[ f (x) = \lim _ {n \rightarrow \infty} f _ {n} (x) = \lim _ {n \rightarrow \infty} n ^ {2} x e ^ {- n ^ {2} x ^ {2}} = 0, x \in [ 0, 1 ] \]

于是

\[ | f _ {n} (x) - f (0) | = n ^ {2} x e ^ {- n ^ {2} x ^ {2}}. \]

容易验证 \(n^2 xe^{-n^2 x^2}\) 在 \([0,1]\) 上只有唯一的极大值点 \(x_0 = \frac{1}{\sqrt{2} n}\) ，因此为最大值点。于是

\[ \sup _ {x} | f _ {n} (x) - f (x) | = \frac {n}{\sqrt {2}} e ^ {- \frac {1}{2}} \rightarrow + \infty . \]

根据余项准则知道该函数列在 \([0,1]\) 上不一致收敛。

定义 (2)

设函数列 \(\{f_n\}\) 与 \(f\) 定义在区间 \(I\) 上，若对任意闭区间 \([a,b] \subset I\) 上， \(\{f_n\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(f\) ，则称 \(\{f_n\}\) 在 \(I\) 上内闭一致收敛于 \(f\) 。

注 \(\left\{f_n(x) = n^2 x e^{-n^2 x^2}\right\} \neq 0\) 是因为函数列余项的数值在 \(x = 0\) 附近不能随 \(n\) 的增大一致趋于零（见图 13-4）

对任何不含原点的区间 \([a,1]\) \((0 < a < 1)\) , 在该区间上 \(f_{n}(x) = n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}} \Rightarrow 0\) 。因此 \(\{f_{n}\}\) 在 \((0,1]\) 上内闭一致收敛。

函数项级数及其一致收敛性

设 \(\{u_n(x)\}\) 是定义在数集 \(E\) 上的一个函数列，表达式

\[ u _ {1} (x) + u _ {2} (x) + \dots + u _ {n} (x) + \dots , \quad x \in E \tag {9} \]

称为定义在 \(E\) 上的函数项级数，简记为 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 或 \(\sum u_n(x)\) . 称

\[ S _ {n} (x) = \sum_ {k = 1} ^ {n} u _ {k} (x), x \in E, n = 1, 2,... \tag {10} \]

为函数项级数 (9) 的部分和函数列。若 \(x_0 \in E\) ，数项级数

\[ u _ {1} (x _ {0}) + u _ {2} (x _ {0}) + \dots + u _ {n} (x _ {0}) + \dots \tag {11} \]

收敛，则称级数（9）在点 \(x_{0}\) 收敛， \(x_{0}\) 称为（9）的收敛点。

若级数 (11) 发散，则称级数 (9) 在点 \(x_0\) 发散。

若级数 (9) 在 \(E\) 的某个子集 \(D\) 上每点都收敛，则称级数 (9) 在 \(D\) 上收敛。

若 \(D\) 为级数 (9) 全体收敛点的集合，则称 \(D\) 为级数 (9) 的收敛域。

级数 (9) 在 \(D\) 上每一点 \(x\) 与其所对应的数项级数 (11) 的和 \(S(x)\) 构成一个定义在 \(D\) 上的函数，称为级数 (9) 的和函数，记作

\[ u _ {1} (x) + u _ {2} (x) + \ldots + u _ {n} (x) + \ldots = S (x), x \in D, \]

即

\[ \lim _ {n \to \infty} S _ {n} (x) = S (x), x \in D. \]

也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。

例 (5)

定义在 \((-∞,+∞)\) 上的函数项级数（几何级数）

\[ 1 + x + x ^ {2} + \dots + x ^ {n} + \dots , \tag {12} \]

部分和函数为 \(S_{n}(x) = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}\) . 当 \(|x| < 1\) 时，

\[ S (x) = \lim _ {n \to \infty} S _ {n} (x) = \frac {1}{1 - x}. \]

所以几何级数 (12) 在 \((-1,1)\) 收敛于 \(S(x)=\frac{1}{1-x}\) ;

当 \(|x| \geq 1\) 时，几何级数是发散的。

定义 (3)

设 \(\{S_n(x)\}\) 是函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 的部分和函数列。若 \(\{S_n(x)\}\) 在数集 \(D\) 上一致收敛于 \(S(x)\) ，则称函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以得到的有关函数项级数的定理。

定理 (13.3 一致收敛的柯西准则)

函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在数集 \(D\) 上一致收敛 \(\Longleftrightarrow\) 对任给的正数 \(\varepsilon\) ，存在正整数 \(N\) ，使当 \(n > N\) 时，对一切 \(x \in D\) 和一切正整数 \(p\) ，都有

\[ | S _ {n + p} (x) - S _ {n} (x) | < \varepsilon , \]

或

\[ | u _ {n + 1} (x) + u _ {n + 2} (x) + \ldots + u _ {n + p} (x) | < \varepsilon . \]

此定理中当 p = 1 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件。

推论（函数项级数一致收敛的必要条件）

\(\sum u_{n}(x)\) 在数集 D 上一致收敛的必要条件是函数列 \(\{u_{n}\}\) 在 D 上一致收敛于零。

设函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 D 上的和函数为 \(S(x)\) ，称

\[ R _ {n} (x) = S (x) - S _ {n} (x) \]

为函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 的余项。

定理 (13.4 余项法则)

函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在数集 D 一致收敛于 \(S(x)\) 的充要条件是

\[ \lim _ {n \to \infty} \sup _ {x \in D} | R _ {n} (x) | = \lim _ {n \to \infty} \sup _ {x \in D} | S (x) - S _ {n} (x) | = 0. \]

我们再来看例 5 中的级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\) ,

1) 若仅在 \([-a, a] (a < 1)\) 上讨论，则由

\[ \sup _ {x \in [ - a, a ]} | S _ {n} (x) - S (x) | = \sup _ {x \in [ - a, a ]} | \frac {- x ^ {n}}{1 - x} | = \frac {a ^ {n}}{1 - a} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) \]

可得级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 在 \([-a, a]\) 上一致收敛。

2) 若在 \((-1, 1)\) 上讨论这个级数，则由

\[ \begin{array}{l} \sup _ {x \in (- 1, 1)} | S _ {n} (x) - S (x) | = \sup _ {x \in (- 1, 1)} | \frac {x ^ {n}}{x - 1} | \geq \frac {| (\frac {n}{n + 1}) ^ {n} |}{| 1 - \frac {n}{n + 1} |} \\ = n \left(\frac {n}{n + 1}\right) ^ {n - 1} \rightarrow + \infty (n \rightarrow \infty) \\ \end{array} \]

知道级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\) 在 \((-1,1)\) 内不一致收敛。

我们再来看例 5 中的级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\) ,

1) 若仅在 \([-a, a] (a < 1)\) 上讨论，则由

\[ \sup _ {x \in [ - a, a ]} | S _ {n} (x) - S (x) | = \sup _ {x \in [ - a, a ]} | \frac {- x ^ {n}}{1 - x} | = \frac {a ^ {n}}{1 - a} \to 0 (n \to \infty) \]

可得级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 在 \([-a, a]\) 上一致收敛。

2) 若在 \((-1, 1)\) 上讨论这个级数，则由

\[ \begin{array}{l} \sup _ {x \in (- 1, 1)} | S _ {n} (x) - S (x) | = \sup _ {x \in (- 1, 1)} | \frac {x ^ {n}}{x - 1} | \geq \frac {| (\frac {n}{n + 1}) ^ {n} |}{| 1 - \frac {n}{n + 1} |} \\ = n \left(\frac {n}{n + 1}\right) ^ {n - 1} \rightarrow + \infty (n \rightarrow \infty) \\ \end{array} \]

知道级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\) 在 \((-1,1)\) 内不一致收敛。

我们再来看例 5 中的级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\) ,

1) 若仅在 \([-a, a] (a < 1)\) 上讨论，则由

\[ \sup _ {x \in [ - a, a ]} | S _ {n} (x) - S (x) | = \sup _ {x \in [ - a, a ]} | \frac {- x ^ {n}}{1 - x} | = \frac {a ^ {n}}{1 - a} \to 0 (n \to \infty) \]

可得级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 在 \([-a, a]\) 上一致收敛。

2) 若在 \((-1, 1)\) 上讨论这个级数，则由

\[ \begin{array}{l} \sup _ {x \in (- 1, 1)} | S _ {n} (x) - S (x) | = \sup _ {x \in (- 1, 1)} | \frac {x ^ {n}}{x - 1} | \geq \frac {| (\frac {n}{n + 1}) ^ {n} |}{| 1 - \frac {n}{n + 1} |} \\ = n (\frac {n}{n + 1}) ^ {n - 1} \rightarrow + \infty (n \rightarrow \infty) \\ \end{array} \]

知道级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\) 在 \((-1,1)\) 内不一致收敛。

例 (6)

\(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1 - x)^{2}\) 在 \([0, 1]\) 上一致收敛性。

解 当 x = 1 时， \(S_{n}(x) = 0\) ;

当 \(0 \leq x < 1\) 时，

\[ S _ {n} (x) = \sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} (1 - x) ^ {2} = (1 - x ^ {n + 1}) (1 - x) \]

所以 \(S(x)=\lim_{n\to\infty}S_{n}(x)=(1-x),x\in[0,1]\) .

于是 \(\left|S(x)-S_{n}(x)\right|=x^{n}(1-x),x\in[0,1]\) ,

由 \((x^{n}(1-x))' = nx^{n-1} - (n+1)x^{n} = 0\) 解得最大值点 \(x_{0} = \frac{n}{n+1}\) ,

故 \(\sup_{x\in [0,1]}|S(x) - S_n(x)| = (\frac{n}{n + 1})^n\frac{1}{n + 1}\to 0,\)

因此 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1 - x)^{2}\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛。

例 (6)

\(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1 - x)^{2}\) 在 \([0, 1]\) 上一致收敛性。

解 当 x = 1 时， \(S_{n}(x) = 0\) ;

当 \(0 \leq x < 1\) 时，

\[ S _ {n} (x) = \sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} (1 - x) ^ {2} = (1 - x ^ {n + 1}) (1 - x) \]

所以 \(S(x)=\lim_{n\to\infty}S_{n}(x)=(1-x),x\in[0,1]\) .

于是 \(\left|S(x)-S_{n}(x)\right|=x^{n}(1-x),x\in[0,1]\) ,

由 \((x^{n}(1-x))' = nx^{n-1} - (n+1)x^{n} = 0\) 解得最大值点 \(x_{0} = \frac{n}{n+1}\) ,

故 \(\sup_{x\in [0,1]}|S(x) - S_n(x)| = (\frac{n}{n + 1})^n\frac{1}{n + 1}\to 0,\)

因此 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n (1 - x)^2\) 在 \([0, 1]\) 上一致收敛。

函数项级数的一致收敛判别法

定理 (13.5 魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法)

设函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 定义在数集 \(D\) 上， \(\sum M_{n}\) 为收敛的正项级数，若对一切 \(x \in D\) ，有

\[ \left| u _ {n} (x) \right| \leq M _ {n}, n = 1, 2, \dots \tag {13} \]

则函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。

证明.

由假设正项级数 \(M_{n}\) 收敛，根据数项级数的柯西准则， \(\forall \varepsilon\) ， \(\exists N\) ，使得当 \(n > N\) 及任何正整数 \(p\) ，有

\[ | M _ {n + 1} + \ldots + M _ {n + p} | = M _ {n + 1} + \ldots + M _ {n + p} < \varepsilon \]

又由 (13) 式对一切 \(x \in D\) 有

\[ | u _ {n + 1} (x) + \ldots + u _ {n + p} (x) | \leq | u _ {n + 1} (x) | + \ldots + | u _ {n + p} (x) | \leq M _ {n + 1} + \ldots + M _ {n + p} < \varepsilon . \]

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 D 上一致收敛。

例 (7)

函数项级数 \(\sum\frac{\sin nx}{n^{2}},\sum\frac{\cos nx}{n^{2}}\) 在 \((-∞,+∞)\) 上一致收敛。

因为对一切 \(x \in (-\infty, +\infty)\) 有

\[ | \frac {\sin n x}{n ^ {2}} | \leq \frac {1}{n ^ {2}}, | \frac {\cos n x}{n ^ {2}} | \leq \frac {1}{n ^ {2}}, \]

而正项级数 \(\sum\frac{1}{n^{2}}\) 是收敛的，所以 \(\sum\frac{\sin nx}{n^{2}},\sum\frac{\cos nx}{n^{2}}\) 在 \((-∞,+∞)\) 上一致收敛。

当级数 \(\sum u_{n}(x)\) 与级数 \(\sum M_{n}\) 在区间 \([a,b]\) 上成立关系式 (13) 时，则称级数 \(\sum M_{n}\) 在区间 \([a,b]\) 上优于级数 \(\sum u_n(x)\) ，或称 \(\sum M_{n}\) 为 \(\sum u_{n}(x)\) 的优级数。

优级数判别法也称为 M 判别法。

对于定义在区间 I 上的函数项级数

\[ \sum u _ {n} (x) v _ {n} (x) = u _ {1} (x) v _ {1} (x) + u _ {2} (x) v _ {2} (x) + \dots + u _ {n} (x) v _ {n} (x) + \dots \tag {14} \]

有类似的判别定理：

定理 (13.6 阿贝尔判别法)

设：

\[ \left| v _ {n} (x) \right| \leq M, \]

则级数 (14) 在 \(I\) 上一致收敛。

证明.

由 (1)，任给 \(\varepsilon > 0\) ，存在某正数 \(N\) ，使得当 \(n > N\) 及任何正整数 \(p\) ，对一切 \(x \in I\) ，有

\[ | u _ {n + 1} (x) + u _ {n + 2} (x) + \ldots + u _ {n + p} (x) | < \varepsilon \]

又由 (2)(3) 及阿贝尔引理（第十二章 §3 引理的推论）得到

\[ | u _ {n + 1} (x) v _ {n + 1} (x) + \ldots + u _ {n + p} (x) v _ {n + p} (x) | \leq (| v _ {n + 1} (x) | + 2 | v _ {n + p} (x) |) \varepsilon \leq 3 M \varepsilon . \]

由函数项级数一致收敛性的柯西准则，得级数（14）在 I 上一致收敛。

定理 (13.7 狄利克雷判别法)

设：

① \(\sum u_{n}(x)\) 的部分和数列

\[ U _ {n} (x) = \sum_ {k = 1} ^ {n} u _ {k} (x) (n = 1, 2, \dots) \]

在 \(I\) 上一致有界；

则级数 (14) 在 \(I\) 上一致收敛。

证明.

由 (1)，存在正数 \(M\) ，对一切 \(x \in I\) ，有 \(|U_n| \leq M\) 。因此当 \(n, p\) 为任何正数时，

\[ \left| u _ {n + 1} (x) + u _ {n + 2} (x) + \dots + u _ {n + p} (x) \right| = \left| U _ {n + p} (x) - U _ {n} (x) \right| \leq 2 M. \]

对任何一个 \(x \in I\) ，再由 (2) 及阿贝尔引理得到

\[ | u _ {n + 1} (x) v _ {n + 1} (x) + \ldots + u _ {n + p} (x) v _ {n + p} (x) | \leq 2 M (| v _ {n + 1} (x) | + 2 | v _ {n + p} (x) |). \]

再由 (3)，对任给的 \(\varepsilon > 0\) ，存在正数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时，对一切 \(x \in I\) ，有

\[ | v _ {n} (x) | < \varepsilon , \]

所以

\[ \left| u _ {n + 1} (x) v _ {n + 1} (x) + \dots + u _ {n + p} (x) v _ {n + p} (x) \right| < 2 M (\varepsilon + 2 \varepsilon) = 6 M \varepsilon . \]

于是由一致收敛性的柯西准则，级数（14）在 I 上一致收敛。

例 (8)

函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(x+n)^n}{n^{n+1}}\) 在 \([0, 1]\) 上一致收敛。

记 \(u_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{n}, v_{n}(x) = (1 + \frac{x}{n})^{n}\) ，于是 \(\sum u_{n}\) 在 [0,1] 上一致收敛， \(v_{n}(x)\) 在 [0,1] 上单调增且一致有界，由阿贝尔判别法就能得到结果。

例 (9)

若数列 \(\{a_{n}\}\) 单调且收敛于零，则级数

\[ \sum a _ {n} \cos n x \tag {15} \]

在 \([\alpha, 2\pi - \alpha](0 < \alpha < \pi)\) 上一致收敛。

证明.

在 \([\alpha, 2\pi - \alpha]\) 上有

\[ | \sum_ {k = 1} ^ {n} \cos k x | = | \frac {\sin (n + \frac {1}{2}) x}{2 \sin \frac {x}{2}} + \frac {1}{2} | \leq | \frac {1}{2 | \sin \frac {x}{2} |} + \frac {1}{2} | \leq \frac {1}{2 \sin \frac {\alpha}{2}} + \frac {1}{2}, \]

所以级数 \(\sum \cos nx\) 的部分和数列在 \([\alpha, 2\pi - \alpha]\) 上一致有界，于是令 \(u_{n}(x) = \cos nx, v_{n}(x) = a_{n}\) ，则由狄利克雷判别法可得，级数 (15) 在 \([\alpha, 2\pi - \alpha]\) 上一致收敛。

注 对于例 7 中的级数 (15)，只要 \(\{a_{n}\}\) 单调且收敛于零，级数 (15) 就在不包含 \(2k\pi(k=0,\pm1,\pm2,\ldots)\) 的任何闭区间上一致收敛。

例 (10)

设 \(u_{1}(t)\) 在 \([a,b]\) 上可积，

\[ u _ {n + 1} (x) = \int_ {a} ^ {x} u _ {n} (t) d t, n = 1, 2, \dots ; \]

证明：函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1}(x)\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛。

证明.

因为 \(u_{1}(t)\) 在 \([a,b]\) 上可积，所以存在 \(M > 0\) ，使得 \(|u_1(x)|\leq M\) ，于是有

\[ | u _ {2} (x) | \leq \int_ {a} ^ {x} | u _ {1} (t) | d t \leq M (x - a), \]

\[ | u _ {3} (x) | \leq \int_ {a} ^ {x} | u _ {2} (t) | d t \leq \int_ {a} ^ {x} M (x - a) d t \leq M \frac {(x - a) ^ {2}}{2 !}, \]

由数学归纳法容易得到

\[ | u _ {n + 1} (x) | \leq \int_ {a} ^ {x} | u _ {n} (t) | d t \leq M \frac {1}{n !} \int_ {a} ^ {x} (x - a) ^ {n - 1} d t \leq M \frac {(x - 1) ^ {n}}{n !} \leq M \frac {(b - a) ^ {n}}{n !}. \]

因为数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} M \frac{(b-a)^n}{n!}\) 收敛，所以根据优级数判别法，原级数在 \([a, b]\) 上一致收敛。

复习思考题

作业

书 p. 37, 5、9 单

数学分析

2025-2026 (2)

Ch. 13b

沈超敏

计算机科学与技术学院

第十三章 函数列与函数项级数

§2 一致收敛 函数列与 函数项级数的性质

一致收敛性的重要性在于：可以将通项函数的许多解析性质遗传给极限函数、和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要。

一致收敛函数列的性质

定理 (13.8 极限交换定理)

结论： \(\lim_{n\to \infty}a_n\) 和 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 均存在且相等。即

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} \lim _ {n \to \infty} f _ {n} (x) = \lim _ {n \to \infty} \lim _ {x \to x _ {0}} f _ {n} (x) \quad (= A). \]

证明.

先证 \(\{a_{n}\}\) 收敛，由条件 1， \(\forall \varepsilon > 0\) ， \(\exists N\) ，当 \(n > N\) 及 \(\forall p\) ，对 \(\forall x \in (a, x_0) \cup (x_0, b)\) ，有 \(|f_n(x) - f_{n+p}(x)| < \varepsilon\) 。从而

\[ | a _ {n} - a _ {n + p} | \stackrel {\text {条件}} {=} ^ {2} \lim _ {x \to x _ {0}} | f _ {n} (x) - f _ {n + p} (x) | \leq \varepsilon . \]

于是由柯西准则可知 \(\{a_n\}\) 是收敛数列，设 \(\lim_{n\to \infty}a_n = A\) ，则 \(\lim_{n\to \infty}\lim_{x\to x_0}f_n(x) = A.\)

证明（续）.

下面证明 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}}\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=A.\)

注意到 \(|f(x) - A|\leq |f(x) - f_{N + 1}(x)| + |f_{N + 1}(x) - a_{N + 1}| + |a_{N + 1} - A|\)

由于 \(f_{n}(x) \Rightarrow f(x)\) ， \(a_{n}\) 收敛于 A，因此对任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在正数 N，当 n > N 时，对任意 \(x \in (a, x_{0}) \cup (x_{0}, b)\) ， \(|f_{n}(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}\) 和 \(|a_{n} - A| < \frac{\varepsilon}{3}\) 同时成立。

特别当 \(n = N + 1\) 时，有 \(\left|f_{N + 1}(x) - f(x)\right| < \frac{\varepsilon}{3}\) 和 \(\left|a_{N + 1} - A\right| < \frac{\varepsilon}{3},\)

又因为 \(\lim_{x\to x_0}f_{N + 1}(x) = a_{N + 1}\) ，故 \(\exists \delta >0\) ，当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，也有

\[ \left| f _ {N + 1} (x) - a _ {N + 1} \right| < \frac {\varepsilon}{3}. \]

于是，当 \(x\) 满足 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，

\[ | f (x) - A | \leq | f (x) - f _ {N + 1} (x) | + | f _ {N + 1} (x) - a _ {N + 1} | + | a _ {N + 1} - A | < \frac {\varepsilon}{3} + \frac {\varepsilon}{3} + \frac {\varepsilon}{3} = \varepsilon , \]

这就证明了 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=A.\)

定理指出：在一致收敛的条件下， \(\{f_n(x)\}\) 中关于独立变量 \(x\) 与 \(n\) 的极限可以交换次序。

类似地，若 \(f_{n}(x)\) 在 \((a,b)\) 上一致收敛，且 \(\lim_{x\to a^{+}}f_{n}(x)\) 存在，则有 \(\lim_{x\to a^{+}}\lim_{n\to \infty}f_n(x) =\) \(\lim_{n\to \infty}\lim_{x\to a^{+}}f_{n}(x);\)

若 \(f_{n}(x)\) 在 \((a,b)\) 上一致收敛，且 \(\lim_{x\to b^{-}}f_n(x)\) 存在，则有 \(\lim_{x\to b^{-}}\lim_{n\to \infty}f_n(x) = \lim_{n\to \infty}\lim_{x\to b^{-}}f_n(x).\)

定理 (13.9 连续性)

则其极限函数 \(f\) 在 \(I\) 上也连续，i.e., \(\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)\) 。

证明.

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} f (x) = \lim _ {n \to \infty} f _ {n} (x _ {0}) \stackrel {\text {数列}} {=} f (x _ {0}) \]

因此 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 上连续。

推论

若连续函数列 \(\{f_n(x)\}\) 在区间 \(I\) 上内闭一致收敛于 \(f\) ，则 \(f\) 在 \(I\) 上连续。

注 定理 13.9 可以逆过来用：若各项为连续函数的函数列在区间 I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间 I 上一定不一致收敛。

例

函数列 \(\{x^n\}\) 的各项在 \((-1, 1]\) 上都是连续的，但其极限函数

\[ f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & - 1 < x < 1 \\ 1, & x = 1. \end{array} \right. \]

在 x = 1 不连续，所以 \(\{x^{n}\}\) 在 \((-1, 1]\) 上不一致收敛。

定理 (13.10 可积性)

则

\[ \lim _ {n \to \infty} \int_ {a} ^ {b} f _ {n} (x) \mathrm{d} x = \int_ {a} ^ {b} \lim _ {n \to \infty} f _ {n} (x) \mathrm{d} x. \tag {3} \]

证明.

i) (3) 可写为

\[ \lim _ {n \to \infty} \int_ {a} ^ {b} f _ {n} (x) \mathrm{d} x = \int_ {a} ^ {b} f (x) \mathrm{d} x. \tag {$3^{\prime$}} \]

理由：由连续性定理知，f 在 \([a,b]\) 上连续，从而 \(f_{n}\) 与 f 在 \([a,b]\) 上都可积。所以，(3') 右端的记号是有意义的。

ii）因为在 \([a,b]\) 上 \(f_{n}\Rightarrow f\) ，故 \(\forall \varepsilon >0\) ，存在 \(N\) ，当 \(n > N\) 时，对一切 \(x\in [a,b]\) ，都有

\[ \left| f _ {n} (x) - f (x) \right| < \varepsilon . \]

再根据定积分的性质，当 \(n > N\) 时有

\[ \left| \int_ {a} ^ {b} f _ {n} (x) \mathrm{d} x - \int_ {a} ^ {b} f (x) \mathrm{d} x \right| = \left| \int_ {a} ^ {b} \left(f _ {n} (x) - f (x)\right) \mathrm{d} x \right| \leq \int_ {a} ^ {b} | f _ {n} (x) - f (x) | \mathrm{d} x \leq \varepsilon (b - a), \]

这就证明了等式 \((3')\) 。

例 (1)

\[ f _ {n} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 n \alpha_ {n} x, & 0 \leq x \leq \frac {1}{2 n} \\ 2 \alpha_ {n} - 2 n \alpha_ {n} x, & \frac {1}{2 n} \leq x \leq \frac {1}{n}, n = 1, 2, \ldots \\ 0, & \frac {1}{n} < x < 1. \end{array} \right. \]

讨论 一致收敛与积分运算交换的关系

显然 \(\{f_n(x)\}\) 是 [0,1] 上的连续函数列，且对任意 \(x\in [0,1]\) ， \(\lim_{n\to \infty}f_n(x) = 0\)

又 \(\sup_{x\in [0,1]}|f_n(x) - 0| = \alpha_n\) ，因此 \(\{f_n(x)\}\) 在 [0,1] 上一致收敛于 0 的充要条件是 \(\alpha_{n}\rightarrow 0\)

因为 \(\int_0^1 f_n(x)\mathrm{d}x = \frac{\alpha_n}{2n}\) ，故 \(\int_0^1 f_n(x)\mathrm{d}x\to \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x = 0\) 的充要条件是 \(\lim_{n\to \infty}\frac{\alpha_n}{2n} = 0\)

这样，当 \(\alpha_{n} \equiv 1\) 时，虽然 \(\{f_{n}(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\) ，但定理 13.10 的结论仍成立。

但当 \(\alpha_{n} = n\) 时， \(\{f_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\) 。同时 \(\int_0^1 f_n(x)\mathrm{d}x \equiv \frac{1}{2}\) 也不收敛于 \(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x = 0\) .

例 1 说明当 \(\{f_{n}(x)\}\) 收敛于 \(f(x)\) 时，一致收敛性 \(\stackrel{\Longrightarrow}{\Longleftarrow}\) 积分、极限交换

定理 (13.11 可微分性)

设 \(\{f_{n}(x)\}\) 为定义在 \([a,b]\) 上的函数列，若

\[ \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left(\lim _ {n \rightarrow \infty} f _ {n} (x)\right) = \lim _ {n \rightarrow \infty} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f _ {n} (x). \tag {4} \]

证明.

设 \(\lim_{n\to \infty}f_n(x_0) = A,f'(x)\Rightarrow g(x)\) 在 \([a,b]\) 上，由定理条件，对 \(\forall x\in [a,b]\) ，总有

\[ f _ {n} (x) = f _ {n} \left(x _ {0}\right) + \int_ {x _ {0}} ^ {x} f _ {n} ^ {\prime} (t) \mathrm{d} t. \]

当 \(n \to \infty\) 时，右边第一项 \(\rightarrow A\) , 第二项 \(\rightarrow \int_{x_{0}}^{x} g(t) dt\) .

所以上式左边极限存在，记为 f，于是

\[ f (x) = \lim _ {n \rightarrow \infty} f _ {n} (x) = A + \int_ {x _ {0}} ^ {x} g (t) \mathrm{d} t. \]

由 g 的连续性及微积分学基本定理，得

\[ f ^ {\prime} = g. \]

这就证明了等式 (4).

推论

设函数列 \(\{f_n(x)\}\) 定义在区间 \([a,b]\) 上，

条件：1） \(f(x_{0})\) 为 \(\{f_{n}(x_{0})\}\) 的收敛点，

2） \(\{f_n\}\) 在 \([a,b]\) 上内闭一致收敛，

结论： \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可导，且

\[ f ^ {\prime} (x) = \lim _ {n \to \infty} f _ {n} ^ {\prime} (x). \]

注 请注意定理中的条件 1 的作用。在定理的条件下，还可推出在 \([a, b]\) 上函数列 \(\{f_n\}\) 一致收敛于 \(f\) , 请读者自己证明.

与前面两个定理一样，一致收敛是极限运算与求导运算交换的充分条件，而不是必要条件，请看例 2.

例 (2)

函数列

\[ f _ {n} (x) = \frac {1}{2 n} \ln \left(1 + n ^ {2} x ^ {2}\right), \quad n = 1, 2, \dots \]

\[ f _ {n} ^ {\prime} (x) = \frac {n x}{1 + n ^ {2} x ^ {2}}, \quad n = 1, 2, \dots \]

在 \([0,1]\) 上都收敛于 0，由于

\[ \lim _ {n \to \infty} \max _ {x \in [ 0, 1 ]} | f _ {n} ^ {\prime} (x) - f ^ {\prime} (x) | = \frac {1}{2}, \]

所以导函数列 \(\{f_n'(x)\}\) 在 [0,1] 上不一致收敛，但有

\[ \lim _ {n \to \infty} f _ {n} ^ {\prime} (x) = 0 = \left[ \lim _ {n \to \infty} f _ {n} (x) \right] ^ {\prime} \]

函数列不一致收敛，但定理结论成立

例 (2)

函数列

\[ f _ {n} (x) = \frac {1}{2 n} \ln \left(1 + n ^ {2} x ^ {2}\right), \quad n = 1, 2, \dots \]

\[ f _ {n} ^ {\prime} (x) = \frac {n x}{1 + n ^ {2} x ^ {2}}, \quad n = 1, 2, \dots \]

在 \([0,1]\) 上都收敛于 0, 由于

\[ \lim _ {n \to \infty} \max _ {x \in [ 0, 1 ]} \left| f _ {n} ^ {\prime} (x) - f ^ {\prime} (x) \right| = \frac {1}{2}, \]

所以导函数列 \(\{f_{n}^{\prime}(x)\}\) 在 \([0,1]\) 上不一致收敛，但有

\[ \lim _ {n \to \infty} f _ {n} ^ {\prime} (x) = 0 = \left[ \lim _ {n \to \infty} f _ {n} (x) \right] ^ {\prime} \]

函数列不一致收敛，但定理结论成立

在上述三个定理中，我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子。在今后的进一步学习中 (如实变函数论) 将讨论使上述定理成立的较弱条件，但在目前情况下，只有满足一致收敛的条件，才能保证定理结论的成立.

下面讨论定义在区间 \([a,b]\) 上函数项级数

\[ u _ {1} (x) + u _ {2} (x) + \dots + u _ {n} (x) + \dots \tag {5} \]

的连续性、逐项求积与逐项求导的性质，这些性质可根据函数列的相应性质推出.

定理 (13.12 极限交换定理、连续性定理)

1. 若函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \(U^{\circ}(x_0)\) 一致收敛，且对每个 \(n\) ， \(\lim_{x\to x_0}u_n(x) = a_n\) ，则有

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} \sum u _ {n} (x) = \sum \lim _ {x \to x _ {0}} u _ {n} (x) = \sum a _ {n}. \tag {6} \]

1. 若 \(\sum u_{n}(x)\) 区间 \([a,b]\) 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在 \([a,b]\) 上也连续.

定理 (13.13 逐项积分定理)

若函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，且每一项 \(u_{n}(x)\) 都连续，则

\[ \sum \int_ {a} ^ {b} u _ {n} (x) \mathrm{d} x = \int_ {a} ^ {b} \sum u _ {n} (x) \mathrm{d} x. \tag {7} \]

定理 (13.14 逐项求导定理)

若函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \([a,b]\) 上每一项都有连续的导函数，\(x_0\in [a,b]\) 为 \(\sum u_{n}(x)\) 的收敛点，且 \(\sum u_n'(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则

\[ \sum \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} u _ {n} (x) = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left(\sum u _ {n} (x)\right). \tag {8} \]

定理 13.13 和 13.14 指出，在一致收敛条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导.

注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足定理条件，更重要的是根据定理的条件，即使没有求出极限函数或和函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质.

例 (3)

设 \(u_{n}(x)=\frac{1}{n^{3}}\ln\left(1+n^{2}x^{2}\right)\) . \(n=1,2,\cdots\)

证明函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛，并讨论和函数在 \([0,1]\) 上的连续性、可积性与可微性.

证明.

对每一个 \(n\) ，易见 \(u_{n}(x)\) 为 [0,1] 上的关于 \(x\) 的增函数，故有

\[ u _ {n} (x) \leq u _ {n} (1) = \frac {1}{n ^ {3}} \ln \left(1 + n ^ {2}\right), \quad n = 1, 2, \dots . \]

又当 \(t \geq 1\) 时，有不等式 \(\ln (1 + t^2) < t\) , 所以

\[ u _ {n} (x) \leq \frac {1}{n ^ {3}} \ln \left(1 + n ^ {2}\right) < \frac {1}{n ^ {3}} \cdot n = \frac {1}{n ^ {2}}, \quad n = 1, 2, \dots . \]

收敛级数 \(\sum \frac{1}{n^2}\) 是 \(\sum u_{n}(x)\) 的优级数，因此级数 \(\sum u_{n}(x)\) 在 [0,1] 上一致收敛.

和函数 \(S(x)\) 的性质

由于每一个 \(u_{n}(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，根据定理 13.12 与定理 13.13 知， \(\sum u_{n}(x)\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续且可积．又由

\[ u _ {n} ^ {\prime} (x) = \frac {2 x}{n (1 + n ^ {2} x ^ {2})} \leq \frac {2 x}{n \cdot 2 n x} = \frac {1}{n ^ {2}}, \quad n = 1, 2, \dots , \]

即 \(\sum \frac{1}{n^2}\) 也是 \(\sum u_n'(x)\) 的优级数，故 \(\sum u_n'(x)\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛。由定理 13.14, 得知 \(S(x)\) 在 \([0,1]\) 上可微.

例 (4)

确定函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) 的收敛域，并讨论和函数的连续性.

解 首先，利用连续性定理 (或极限交换定理) 建立一个判别法:

若函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 的每一项在 \([a,b)\) 上有定义，且

(i) \(\forall n, u_{n}(x)\) 在点 a 右连续；

(ii) \(\forall x \in (a, b), \sum u_{n}(x)\) 收敛；

(iii) 级数 \(\sum u_{n}(a)\) 发散，

则 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \((a,b)\) 上不一致收敛.

理由：如果 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \((a,b)\) 上一致收敛，则由 (i) \(\lim_{x\to a^{+}}u_{n}(x) = u_{n}(a)\) ，及极限交换定理得

\[ \lim _ {x \rightarrow a ^ {+}} \sum u _ {n} (x) = \sum \lim _ {x \rightarrow a ^ {+}} u _ {n} (x) = \sum u _ {n} (a) \]

与 \(\sum u_{n}(a)\) 发散矛盾。这就证明了上述判别法.

例 (4)

确定函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) 的收敛域，并讨论和函数的连续性.

解 首先，利用连续性定理 (或极限交换定理) 建立一个判别法:

若函数项级数 \(\sum u_{n}(x)\) 的每一项在 \([a,b)\) 上有定义，且

(i) \(\forall n, u_{n}(x)\) 在点 a 右连续；

(ii) \(\forall x \in (a, b), \sum u_{n}(x)\) 收敛；

(iii) 级数 \(\sum u_{n}(a)\) 发散，

则 \(\sum u_{n}(x)\) 在 \((a,b)\) 上不一致收敛.

理由：如果 \(\sum u_n(x)\) 在 \((a, b)\) 上一致收敛，则由 (i) \(\lim_{x \to a^+} u_n(x) = u_n(a)\) , 及极限交换定理得

\[ \lim _ {x \to a ^ {+}} \sum u _ {n} (x) = \sum \lim _ {x \to a ^ {+}} u _ {n} (x) = \sum u _ {n} (a) \]

与 \(\sum u_{n}(a)\) 发散矛盾。这就证明了上述判别法.

对函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) ，用根式判别法求出其收敛域.

因为 \(\sqrt[n]{|x + \frac{1}{n}|^n} = \left|x + \frac{1}{n}\right|\rightarrow |x|\) ，所以

因此这个级数的收敛域为 \((-1,1)\) .

设在 \((-1, 1)\) 上 \(f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) ，因为 \(u_n(x) = \left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) 在 \(x = 1\) 和 \(x = -1\) 处分别为左连续和右连续，而级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 发散，故根据本例第一段的判别法，知道 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) 在 \((-1, 1)\) 上不一致收敛.

这说明：此题不满足连续性定理的条件，i.e., 因为不是一致收敛，所以无法用连续性定理判断和函数在 \((-1, 1)\) 上是否连续.

是否和函数在 \((-1,1)\) 上就不连续了？

对 \(\forall x_0\in (-1,1),\exists 0 < c < 1,\) 使得 \(x_0\in (-c,c)\) ，当 \(|x|\leq c\) 时，有

\[ \left| \left(x + \frac {1}{n}\right) ^ {n} \right| \leq \left(c + \frac {1}{n}\right) ^ {n}, \]

而级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(c + \frac{1}{n}\right)^n\) 收敛，根据优级数判别法，知 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) 在 \([-c, c]\) 上一致收敛。因此 \(f\) 在 \((-1, 1)\) 上内闭一致收敛，从而 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(x + \frac{1}{n}\right)^n\) 的和函数 \(f\) 在 \((-1, 1)\) 上连续.

注 上述用开区间的 “内闭” 一致收敛来得出和函数连续性方法是函数项级数中典型的解题方法，请关注.

复习思考题

注： \(u_{n}(x)\) 未必正，对特定的 n，单调有可能上升，有可能下降

1. 请举出函数项级数的例子，说明一致收敛只是可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不是必要条件。

作业

p.44 1 单、2、9 单

对正项级数，对每个 \(n\) ，关于 \(x\) 都单调上升的情况

由于对于每个 n, \(u_{n}(x)\) 是区间 \([a,b]\) 上的单调函数，因此对于任意 \(x,y\in[a,b]\) ，如果 x<y，则有 \(u_{n}(x)\leq u_{n}(y)\) ，因此对于每个 n， \(|u_{n}(x)|\leq|u_{n}(y)|\) 。

考虑级数 \(\sum u_{n}(x)\) 的 Cauchy 准则。对于任意 \(\epsilon > 0\) ，由于 \(\sum u_{n}(a)\) 和 \(\sum u_{n}(b)\) 都收敛，因此存在正整数 \(N_{1}, N_{2}\) ，使得当 \(n, m \geq \max(N_{1}, N_{2})\) 时，有：

\[ \left| \sum_ {k = n + 1} ^ {m} u _ {k} (a) \right| < \frac {\epsilon}{2} \quad \text {和} \quad \left| \sum_ {k = n + 1} ^ {m} u _ {k} (b) \right| < \frac {\epsilon}{2} \]

此外，由于对于任意 \(x \in [a, b]\) 和任意 \(n \in \mathbb{N}\) ，都有 \(|u_n(x)| \leq |u_n(b)|\) ，因此对于 \(n \geq N_2\) ，有：

\[ | u _ {n} (x) | \leq | u _ {n} (b) | \quad {\text { 对于任意 }} x \in [ a, b ] \]

现在，对于 \(n, m \geq \max(N_1, N_2)\) ，我们有：

\[ \left| \sum_ {k = n + 1} ^ {m} u _ {k} (x) \right| \leq \sum_ {k = n + 1} ^ {m} | u _ {k} (x) | \quad \leq \sum_ {k = n + 1} ^ {m} | u _ {k} (b) | = \left| \sum_ {k = n + 1} ^ {m} u _ {k} (b) \right| < \frac {\epsilon}{2} \]

这表明 \(\sum u_{n}(x)\) 是一个 Cauchy 序列，因此在 \([a,b]\) 上一致收敛

数学分析

2025-2026 (2)

沈超敏

计算机科学与技术学院