隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定理及其应用 §1 隐函数

隐函数是函数关系的另一种表现形式.

讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.

隐函数概念

显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如:

\[ y = 1 + \sin^ {3} x, z = \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}. \]

隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个方程式所确定的函数，通常称为隐函数。例如：

\[ x ^ {2 / 3} + y ^ {2 / 3} = a ^ {2 / 3}, \quad x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} - 3 x y = 0 \]

设 \(E\subset \mathbb{R}^2,F:E\to \mathbb{R}\) . 对于方程

\[ F (x, y) = 0. \tag {1} \]

若存在 \(I, J \subset \mathbb{R}\) , 使得 \(\forall x \in I\) , 有唯一确定的 \(y \in J\) , 使得 \((x, y) \in E\) , 且满足方程 (1), 则称由方程 (1) 确定了一个定义在 \(I\) , 值域含于 \(J\) 的隐函数。如果把此隐函数记为

\[ y = f (x), x \in I, y \in J, \]

则成立恒等式

\[ F (x, f (x)) \equiv 0, x \in I \]

注 1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要化为显函数。上面把隐函数仍记为 \(y = f(x)\) , 这与它能否用显函数表示无关。例: \(x - y + \frac{1}{2}\sin y = 0\)

注 2 不是任一方程 \(F(x,y)=0\) 都能确定隐函数，例如 \(x^{2}+y^{2}+1=0\) 显然不能确定任何隐函数.

注 3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围。例如由方程 \(x^{2} + y^{2} = 1\) 可确定如下两个函数：

\[ y = f _ {1} (x) \left(= \sqrt {1 - x ^ {2}}\right), \quad x \in [ - 1, 1 ], y \in [ 0, 1 ]; \]

\[ y = f _ {2} (x) \left(= - \sqrt {1 - x ^ {2}}\right), x \in [ - 1, 1 ], y \in [ - 1, 0 ]. \]

注 4 类似地可定义多元隐函数。例如：由方程 \(F(x, y, z) = 0\) 确定的隐函数 \(z = f(x, y)\) , 由方程 \(F(x, y, z, u) = 0\) 确定的隐函数 \(u = f(x, y, z)\) , 等等。在 §2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.

隐函数存在条件分析

当函数 \(F(x,y)\) 满足怎样一些条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 \(y=f(x)\) ?

并使该隐函数具有连续、可微等良好性质？

\[ \left. \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F (x, f (x)) \right| _ {x = x _ {0}} = F _ {x} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) + F _ {y} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) f ^ {\prime} \left(x _ {0}\right) = 0, \]

\[ \Rightarrow f ^ {\prime} \left(x _ {0}\right) = - \frac {F _ {x} \left(x _ {0} , y _ {0}\right)}{F _ {y} \left(x _ {0} , y _ {0}\right)}. \]

由此可见，\(F_{y}(x_{0},y_{0})\neq0\) 是一个重要条件.

隐函数存在条件 (c) 的直观理解

\[ \left(F _ {x} \left(x _ {0}, y _ {0}\right), F _ {y} \left(x _ {0}, y _ {0}\right)\right) \neq (0, 0) \]

直观上，这表示在点 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 附近，函数 \(F(x,y)\) 至少在某个方向上有一阶变化。

因此，零水平集

\[ F (x, y) = 0 \]

在 \(P_{0}\) 附近不会退化成孤立点、交叉点或尖点，而是像一条正常曲线。

若

\[ F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) = 0, \qquad F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) = 0, \]

则 F 在 \(P_{0}\) 处的一阶变化完全消失。此时 \(F(x,y)=0\) 的形状可能退化。

例 1: 孤立点

\[ F (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}. \]

\[ x ^ {2} + y ^ {2} = 0 \]

只有一个解：

\[ (x, y) = (0, 0). \]

这不是一条曲线，因此不能表示为

\[ y = f (x). \]

例 2: 两条曲线交叉

\[ F (x, y) = y ^ {2} - x ^ {2}. \]

于是

\[ F (x, y) = 0 \]

等价于

\[ y ^ {2} - x ^ {2} = 0, \]

即

\[ (y - x) (y + x) = 0. \]

所以零水平集为

\[ y = x \quad {\text {或}} \quad y = - x. \]

在 \((0,0)\) 附近，一个 \(x\) 对应两个 \(y\) ，因此不能唯一确定一个函数

\[ y = f (x). \]

\(\left(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0})\right)\neq(0,0)\) 的几何意义

\[ \nabla F (x _ {0}, y _ {0}) = \left(F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}), F _ {y} (x _ {0}, y _ {0})\right) \]

是曲线

\[ F (x, y) = 0 \]

在点 \(P_{0}\) 处的法向量。

若

\[ \nabla F (x _ {0}, y _ {0}) \neq 0, \]

则该点处有明确的法线，从而有明确的切线。

因此，零水平集在该点附近是一条光滑曲线。

梯度不为零 \(\Longrightarrow\) 零水平集局部像一条正常曲线

为什么还要要求 \(F_{y}(x_{0}, y_{0}) \neq 0\) ?

\[ (F _ {x}, F _ {y}) \neq (0, 0) \]

只能保证零水平集是一条正常曲线。

但要由

\[ F (x, y) = 0 \]

确定

\[ y = f (x), \]

还需要这条曲线不是竖直的。

由复合函数求导：

\[ \frac {d}{d x} F (x, f (x)) = F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) + F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) f ^ {\prime} (x _ {0}) = 0. \]

因此 \(f'(x_{0}) = -\frac{F_{x}(x_{0}, y_{0})}{F_{y}(x_{0}, y_{0})}\) . 所以必须有

\[ F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) \neq 0. \]

隐函数定理

定理 (18.1 隐函数存在唯一性定理)

设 \(F(x,y) = 0\) 中的 \(F(x,y)\) 满足：

则：

\(1^{\circ}\) 存在某邻域 \(U(P_0)\subset D\) ，在 \(U(P_0)\) 上 \(F(x,y) = 0\) 惟一地确定了一个隐函数

\[ y = f (x), \quad x \in (x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha) \]

它满足: \(f(x_{0}) = y_{0}\) ，且当 \(x \in (x_{0} - \alpha, x_{0} + \alpha)\) 时，使得

\[ (x, f (x)) \in U \left(P _ {0}\right), \quad F (x, f (x)) \equiv 0; \]

\(2^{\circ}f(x)\) 在 \((x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha)\) 上连续.

证明.

首先证明隐函数的存在与惟一性

证明过程归结起来有以下四个步骤

证明.

(a) \(F_{y}(x,y)\) “一点正，一片正”

由条件 (iv) \(F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\) ，不妨设

\[ F _ {y} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) > 0. \]

因为 \(F_{y}(x,y)\) 连续，所以根据保号性，\(\exists\beta>0\) , 使得

\[ F _ {y} (x, y) > 0, \quad (x, y) \in S, \]

其中 \(S = [x_{0} - \beta, x_{0} + \beta] \times [y_{0} - \beta, y_{0} + \beta] \subset D.\)

证明（续）.

(b) \(F(x, y)\) “正、负上下分”

因 \(F_{y}(x,y) > 0,(x,y)\in S\) ，故 \(\forall x\in [x_0 - \beta ,x_0 + \beta ]\) ，把 \(F(x,y)\) 看作 \(y\) 的函数时，它在 \([y_0 - \beta ,y_0 + \beta ]\) 上严格增，且连续（据条件 (i)).

特别对于函数 \(F(x_{0},y)\) ，由条件 \(F(x_{0},y_{0})=0\) 可知

\[ F \left(x _ {0}, y _ {0} + \beta\right) > 0, \]

\[ F \left(x _ {0}, y _ {0} - \beta\right) < 0. \]

证明（续）.

(c) \(F(x,y)\) “同号两边伸”

因为 \(F(x,y_{0}-\beta)\) , \(F(x,y_{0}+\beta)\) 关于 x 连续，故由 (b) 的结论，根据保号性，\(\exists\alpha(0<\alpha\leq\beta)\) , 使得

\[ \begin{array}{l} F \left(x, y _ {0} + \beta\right) > 0, \\ F \left(x, y _ {0} - \beta\right) < 0, \\ x \in (x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha). \\ \end{array} \]

证明（续）.

(d) “利用介值性”

\(\forall \hat{x} \in (x_0 - \alpha, x_0 + \alpha)\) , 因 \(F(\hat{x}, y)\) 关于 \(y\) 连续，且严格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理，存在惟一的 \(\hat{y} \in (y_0 - \beta, y_0 + \beta)\) , 满足 \(F(\hat{x}, \hat{y}) = 0\) .

由 \(\hat{x}\) 的任意性，这就证得存在惟一的隐函数:

\[ \begin{array}{l} y = f (x), \\ \left\{ \begin{array}{l} x \in I = (x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha), \\ y \in J = (y _ {0} - \beta , y _ {0} + \beta). \end{array} \right. \\ \end{array} \]

若记 \(U(P_{0}) = I \times J\) ，则定理结论 \(1^{\circ}\) 得证.

证明（续）.

下面再来证明上述隐函数的连续性:

即 \(\forall\bar{x}\in(x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha)\) ，欲证上述 \(f(x)\) 在 \(\bar{x}\) 连续.

如图 18-2 所示，\(\forall\varepsilon>0\) , 取 \(\varepsilon\) 足够小，使得 \(y_{0}-\beta\leq\bar{y}-\varepsilon<\bar{y}+\varepsilon\leq y_{0}+\beta\) , 其中 \(\bar{y}=f(\bar{x})\) .

由前面 \(F_{y} \neq 0\) 时的假设， \(F_{y} > 0\) ，i.e., \(F(x, y)\) 对 y 严格增，而

\[ F (\bar {x}, \bar {y}) = 0, \]

推知

\[ F (\bar {x}, \bar {y} - \varepsilon) < 0, \quad F (\bar {x}, \bar {y} + \varepsilon) > 0 \]

类似于前面 (c)“同号两边伸”， \(\exists \delta > 0\) 使得

\[ \left(\bar {x} - \delta , \bar {x} + \delta\right) \subset \left(x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha\right), \]

且当 \(x \in (x - \delta, x + \delta)\) 时，有

\[ F (x, \bar {y} - \varepsilon) < 0, \quad F (x, \bar {y} + \varepsilon) > 0. \]

类似于前面 (d), 由于隐函数惟一，故有

\[ \bar {y} - \varepsilon < f (x) < \bar {y} + \varepsilon , \quad x \in (\bar {x} - \delta , \bar {x} + \delta), \]

因此 \(f(x)\) 在 x 连续.

由 \(\bar{x}\) 的任意性，便证得 \(f(x)\) 在 \((x_{0}-\alpha, x_{0}+\alpha)\) 上处处连续.

注 1 定理 18.1 的条件 (i)，即 “在以 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 为内点的某区域 \(D \subset R^{2}\) 上连续”，(iv) 即 “\(F_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0\)” 仅是充分条件，

如: (1) \(F(x, y) = y^3 - x^3 = 0\) , 其 \(F_y(0, 0) = 0\) , 在点 \((0, 0)\) 虽不满足条件 (iv), 但仍能确定惟一的隐函数 \(y = x\) .

(2) \(F(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - x^2 + y^2 = 0\) (双纽线), 在点 (0, 0) 同样不满足条件 (iv); 如图 18-3 所示，在该点无论多么小的邻域内，确实图 18-3 不能确定惟一的隐函数.

注 2 条件 (iii)、(iv) 在证明中只是用来保证在邻域 \(U(P_0)\) 内 \(F(x,y)\) 关于 \(y\) 为严格单调。之所以采用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性的作用.

注 3 定理 18.1 是一个局部性的隐函数存在定理.

例如，从以上双纽线图形看出：除了 \((0,0),(1,0),(-1,0)\) 三点以外，曲线上其余各点处都存在局部隐函数 \(y = f(x)\) （这不难用定理 18.1 加以检验，见后面第四段的例 1）.

注 4 在方程 \(F(x,y)=0\) 中，x 与 y 的地位是平等的。当条件 (iii)、(iv) 改为 “\(F_{x}(x,y)\) 连续，且 \(F_{x}(x_{0},y_{0})\neq0\)” 时，将存在局部的连续隐函数 \(x=g(y)\) .

定理 (18.2 隐函数可微性定理)

设函数 \(F(x,y)\) 满足定理 18.1 中的条件 \((i)\sim (iv)\) ，在 \(D\) 内还存在连续 \(F_{x}(x,y)\) . 则由方程 \(F(x,y) = 0\) 所确定的隐函数 \(y = f(x)\) 在 \(I\) 内有连续的导函数，且

\[ f ^ {\prime} (x) = - \frac {F _ {x} (x , y)}{F _ {y} (x , y)}, (x, y) \in I \times J. \tag {2} \]

证明.

设 \(x, x + \Delta x \in I\) ，则

\[ y = f (x), \quad y + \Delta y = f (x + \Delta x) \in J. \]

由条件易知 F 可微，并有

\[ F (x, y) = 0, \quad F (x + \Delta x, y + \Delta y) = 0. \]

使用微分中值定理，\(\exists\theta(0<\theta<1)\) , 使得

\[ 0 = F (x + \Delta x, y + \Delta y) - F (x, y) \]

证明.

\[ \Rightarrow \frac {\Delta y}{\Delta x} = - \frac {F _ {x} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)}{F _ {y} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)} \]

因 \(f, F_x, F_y\) 都是连续函数，故 \(\Delta x \to 0\) 时 \(\Delta y \to 0\) , 并有

\[ \begin{array}{l} f ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = - \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {F _ {x} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)}{F _ {y} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)} \\ = - \frac {F _ {x} (x , y)}{F _ {y} (x , y)}, \quad (x, y) \in I \times J. \\ \end{array} \]

显然 \(f'(x)\) 也是连续函数.

注 1 当 \(F(x,y)\) 存在二阶连续偏导数时，所得隐函数也二阶可导。应用两次复合求导法，得

\[ F _ {x} (x, y) + F _ {y} (x, y) y ^ {\prime} = 0, \]

\[ F _ {x x} + F _ {x y} y ^ {\prime} + \left(F _ {y x} + F _ {y y} y ^ {\prime}\right) y ^ {\prime} + F _ {y} y ^ {\prime \prime} = 0. \]

将 (2) 式代入上式，经整理后得到

\[ \begin{array}{l} y ^ {\prime \prime} = - \frac {1}{F _ {y}} \left(F _ {x x} + 2 F _ {x y} y ^ {\prime} + F _ {y y} y ^ {\prime 2}\right) \\ = \frac {2 F _ {x} F _ {y} F _ {x y} - F _ {y} ^ {2} F _ {x x} - F _ {x} ^ {2} F _ {y y}}{F _ {y} ^ {3}}. \\ \end{array} \]

注 2 利用公式隐函数的一阶、二阶导数公式求隐函数的极值:

(a) 求使 \(y' = 0\) 的点 \(A(x, y)\) ，即 \(\left\{\begin{aligned} F &= 0 \\ F_x &= 0 \end{aligned}\right.\) 的解.

(b) 在点 A 处因 \(F_{x}=0\) ，而使 (3)

\[ y ^ {\prime \prime} = \frac {2 F _ {x} F _ {y} F _ {x y} - F _ {y} ^ {2} F _ {x x} - F _ {x} ^ {2} F _ {y y}}{F _ {y} ^ {3}} \]

化简为

\[ \left. y ^ {\prime \prime} \right| _ {A} = - \left. \frac {F _ {x x}}{F _ {y}} \right| _ {A}. \tag {4} \]

(c) 由极值判别法，当 \(y''|_A < 0\) (或 \(>0\)) 时，隐函数 \(y = f(x)\) 在 \(\tilde{x}\) 取得极大值 (或极小值) \(\tilde{y}\) .

注 3 由方程

\[ F (x, y, z) = 0 \tag {5} \]

确定隐函数 \(z = f(x, y)\) 的相关定理简述如下:

设在以点 \(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\) 为内点的某区域 \(D\subset R^{3}\) 上，F 的所有一阶偏导数都连续，并满足

\[ F \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}\right) = 0, F _ {z} \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}\right) \neq 0. \]

则存在某邻域 \(U(P_{0}) \subset D\) ，在其内存在惟一的、连续可微的隐函数 \(z = f(x, y)\) ，且有

\[ f _ {x} = \frac {\partial z}{\partial x} = - \frac {F _ {x}}{F _ {z}}, \quad f _ {y} = \frac {\partial z}{\partial y} = - \frac {F _ {y}}{F _ {z}} \tag {6} \]

更一般地，由方程

\[ F \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}, y\right) = 0 \]

确定隐函数 \(y = f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) 的相关定理，见定理 18.2，这里不再详述.

隐函数求导举例

例 (1)

试讨论双纽线方程

\[ \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) ^ {2} - x ^ {2} + y ^ {2} = 0 \]

所能确定的隐函数 \(y = f(x)\) 或 \(x = g(y)\) 的极值.

解 令 \(F(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - x^2 + y^2\) ，它有连续的

\[ F _ {x} = 4 x \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) - 2 x, F _ {y} = 4 y \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) + 2 y. \]

求解 \(\left\{\begin{array}{l}F(x,y)=0\\F_{x}(x,y)=0\end{array}\right.\) 与 \(\left\{\begin{array}{l}F(x,y)=0\\F_{y}(x,y)=0\end{array}\right.\) ，分别得到

\[ F _ {x} (0, 0) = F _ {x} \left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \pm \frac {\sqrt {2}}{4}\right) = 0 \]

\[ F _ {y} (0, 0) = F _ {y} (\pm 1, 0) = 0. \]

所以，

除 \((0,0)\) , \((\pm1,0)\) 这三点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数 \(y = f(x)\) . 同理，除 \((0,0)\) , \(\left(\pm\frac{\sqrt{6}}{4},\pm\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\) 这五点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数

\[ x = g (y). \]

再考虑隐函数 \(y = f(x)\) 的极值。由于

\[ F _ {x x} (x, y) = 2 \left(6 x ^ {2} + 2 y ^ {2} - 1\right), \]

\[ F _ {y} \left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \frac {\sqrt {2}}{4}\right) = \frac {\sqrt {2}}{2}, F _ {x x} \left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \frac {\sqrt {2}}{4}\right) = \frac {3}{2}, \]

\[ y ^ {\prime \prime} | _ {\left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \frac {\sqrt {2}}{4}\right)} ^ {4} = - \frac {3}{2} / \frac {\sqrt {2}}{2} = - \frac {3 \sqrt {2}}{2} < 0 \]

因此， \(f(x)\) 在 \(x = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}\) 处取得极大值 \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

由对称性又知，\(f(x)\) 在 \(x = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}\) 处还取得极小值 \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\) .

例 (2)

讨论笛卡儿叶形线 (图 18-4)

\[ x ^ {3} + y ^ {3} = 3 a x y \quad (a > 0) \]

所确定的隐函数 \(y = f(x)\) 的存在性，并求其一阶、二阶导数.

解 令 \(F(x, y) = x^3 + y^3 - 3axy\) . 先求出在曲线 (7) 上使 \(F_y = 3(y^2 - ax) = 0\) 的点为 \(O(0, 0), B(\sqrt[3]{4}a, \sqrt[3]{2}a)\) . 除此两点外，方程 (7) 在其他各点处都能确定局部的隐函数 \(y = f(x)\) .

由隐函数求导公式 (2) 求得

\[ y ^ {\prime} = - \frac {F _ {x}}{F _ {y}} = - \frac {3 (x ^ {2} - a y)}{3 (y ^ {2} - a x)} = \frac {a y - x ^ {2}}{y ^ {2} - a x}. \]

为了求出二阶导数，要使用公式 (3), 先算出:

\[ 2 F _ {x} F _ {y} F _ {x y} = - 5 4 a \left(y ^ {2} - a x\right) \left(x ^ {2} - a y\right), \]

\[ F _ {y} ^ {2} F _ {x x} = 5 4 x \left(y ^ {2} - a x\right) ^ {2}, \]

\[ F _ {x} ^ {2} F _ {y y} = 5 4 y \left(x ^ {2} - a y\right) ^ {2}. \]

所以 \(y'' = \frac{2F_x F_y F_{xy} - F_y^2 F_{xx} - F_x^2 F_{yy}}{F_y^3}\)

\[ = \frac {- 5 4 \left[ a (y ^ {2} - a x) (x ^ {2} - a y) + x (y ^ {2} - a x) ^ {2} + y (x ^ {2} - a y) ^ {2} \right]}{2 7 (y ^ {2} - a x) ^ {3}} \]

\[ = \frac {- 2 \left[ - 3 a x ^ {2} y ^ {2} + x y \left(x ^ {3} + y ^ {3} + a ^ {3}\right) \right]}{\left(y ^ {2} - a x\right) ^ {3}} \]

\[ = \frac {- 2 \left[ - 3 a x ^ {2} y ^ {2} + x y \left(3 a x y + a ^ {3}\right) \right]}{\left(y ^ {2} - a x\right) ^ {3}} \]

\[ = - \frac {2 a ^ {3} x y}{(y ^ {2} - a x) ^ {3}}. \]

类似于例 1 的方法，求出曲线上使 \(y' = 0\) 的点为 \(A(\sqrt[3]{2}a, \sqrt[3]{4}a)\) . 在几何上，它是两条曲线

\[ F (x, y) = 0 \text {和} F _ {x} (x, y) = 0 \]

的交点 (见图).

容易验证 \(y''|_{A} = -\frac{4}{\sqrt[3]{2}a} < 0\) ，所以隐函数 \(y = f(x)\) 在点 A 取得极大值 \(\sqrt[3]{4}a\) .

以上讨论同时说明，该曲线在点 A 和 B 分别有水平切线和垂直切线.

例 (3)

试求由方程 \(xyz^{3} + x^{2} + y^{3} - z = 0\) 所确定的隐函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \(P(0, 1, 1)\) 处的全微分.

解法 1 (形式计算法)

对方程两边微分，整理得

\[ \begin{array}{l} \left(y z ^ {3} + 2 x\right) \mathrm{d} x + \left(x z ^ {3} + 3 y ^ {2}\right) \mathrm{d} y \\ + \left(3 x y z ^ {2} - 1\right) \mathrm{d} z = 0, \\ \end{array} \]

将 \((x,y,z) = (0,1,1)\) 代入，又得

\[ \begin{array}{l} \mathbf {d} x + 3 \mathbf {d} y - \mathbf {d} z = 0, \\ \Rightarrow d z | _ {P} = \mathbf {d} x + 3 \mathbf {d} y. \\ \end{array} \]

解法 2 (隐函数法)

设

\[ F (x, y, z) = x y z ^ {3} + x ^ {2} + y ^ {3} - z. \]

由于 \(F(0,1,1)=0, F_{x}, F_{y}, F_{z}\) 在 \(R^{3}\) 上处处连续，而

\[ F _ {z} (0, 1, 1) = \left(3 x y z ^ {2} - 1\right) \bigg | _ {P} = - 1 \neq 0, \]

因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数 \(z = z(x, y)\) ; 且可求得它的偏导数如下:

\[ \frac {\partial z}{\partial x} = - \frac {F _ {x}}{F _ {z}} = \frac {y z ^ {3} + 2 x}{1 - 3 x y z ^ {2}}, \quad \frac {\partial z}{\partial y} = - \frac {F _ {y}}{F _ {z}} = \frac {x z ^ {3} + 3 y ^ {2}}{1 - 3 x y z ^ {2}}. \]

以 \((x,y,z)=(0,1,1)\) 代入，便得到

\[ \left. z _ {x} \right| _ {P} = 1, \left. z _ {y} \right| _ {P} = 3, \left. \mathrm{d} z \right| _ {P} = \mathrm{d} x + 3 \mathrm{d} y. \]

例 (4)

用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数

解 设 \(y = f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某邻域内有连续的导函数 \(f'(x)\) ，且 \(f(x_{0}) = y_{0}\) 。现在来考察方程

\[ F (x, y) = y - f (x) = 0. \tag {8} \]

由于 \(F(x_{0},y_{0})=0,F_{y}=1,F_{x}(x_{0},y_{0})=-f'(x_{0})\) ，因此只要 \(f'(x_{0})\neq0\) ，就能满足隐函数定理的所有条件，由方程（8）便能确定连续可微的隐函数

\[ x = g (y), \quad y \in U \left(y _ {0}\right). \]

因它满足 \(F(y, g(y)) = y - f(g(y)) \equiv 0\) ，故它就是 \(y = f(x)\) 的反函数。应用隐函数求导公式，可得

\[ g ^ {\prime} (y) = \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = - \frac {F _ {y}}{F _ {x}} = - \frac {1}{- f ^ {\prime} (x)} = \frac {1}{f ^ {\prime} (x)}. \]

例 (5)

设 \(z = z(x,y)\) 是由 \(F(x - z,y - z) = 0\) 所确定的隐函数，其中 \(\pmb{F}\) 具有连续的二阶偏导数，试证： \(z_{xx} + 2z_{xy} + z_{yy} = 0.\)

证明.

易知 \(F_{x} = F_{1}, F_{y} = F_{2}, F_{z} = -(F_{1} + F_{2})\) ，于是有

\[ z _ {x} = F _ {1} / \left(F _ {1} + F _ {2}\right), \quad z _ {y} = F _ {2} / \left(F _ {1} + F _ {2}\right). \]

由此得到 \(z_{x} + z_{y} = 1\) ，再分别对 x 与 y 求偏导数，又得 \(z_{xx} + z_{yx} = 0, z_{xy} + z_{yy} = 0\) 。因在假设条件下， \(z_{xy} = z_{yx}\) ，故将此两式相加便得所需结果。

复习思考题

\[ x = x (y, z), y = y (z, x), z = z (x, y). \]

验证： \(\frac{\partial x}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x} = -1\cdot (\text{由此能说明些什么？})\)

1. 试对例 3 的两种解法（形式计算法与隐函数法）作一比较，指出两者各有哪些优缺点？

作业

p. 156

1、3 单