多元函数的极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续

多元函数是一元函数的推广，它保留着一元函数的许多性质，同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质.

下面着重讨论二元函数，由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去。

§1 平面点集与多元函数

一、平面点集

邻域、空心邻域、内点、外点、界点、聚点、导集、闭包、孤立点、开集、闭集、开域、闭域、区域、有界点集

二、 \(\mathbb{R}^2\) 上的完备性定理

三、二元函数

四、n 元函数

平面点集

1. 平面点集的一些基本概念

由于二元函数的定义域是坐标平面上的点集，因此在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.

在平面上确立了直角坐标系之后，所有有序实数对 \((x, y)\) 与平面上所有点之间建立起了一一对应，坐标平面上满足某种条件 \(P\) 的点的集合，称为平面点集，记作

\[ E = \{(x, y) | (x, y) \text {满足条件} P \}. \]

(i) 全平面:

\[ \mathbb {R} ^ {2} = \{(x, y) \mid - \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty \}. \tag {1} \]

(ii) 圆:

\[ C = \left\{(x, y) \mid x ^ {2} + y ^ {2} < r ^ {2} \right\}. \tag {2} \]

(iii) 矩形:

\[ S = \{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}, \tag {3} \]

也常记作: \(S = [a, b] \times [c, d]\) .

(iv) 点 \(A(x_{0}, y_{0})\) 的 \(\delta\) 邻域:

\[ \left\{(x, y) \mid (x - x _ {0}) ^ {2} + (y - y _ {0}) ^ {2} < \delta^ {2} \right\} (\text {圆形}) \]

与 \(\{(x,y)\mid|x-x_{0}|<\delta,|y-y_{0}|<\delta\}\) (方形).

由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一方邻域之内 (反之亦然), 因此通常用 “点 A 的 \(\delta\) 邻域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域，并用记号 \(U(A; \delta)\) 或 \(U(A)\) 来表示.

点 A 的空心邻域是指:

\[ \left\{(x, y) \mid 0 < (x - x _ {0}) ^ {2} + (y - y _ {0}) ^ {2} < \delta^ {2} \right\} (\text {圆}) \]

或

\[ \{(x, y) | \quad | x - x _ {0} | < \delta , | y - y _ {0} | < \delta , (x, y) \neq (x _ {0}, y _ {0}) \} (\text {方}), \]

并用记号 \(U^{\circ}(A;\delta)\) （或 \(U^{\circ}(A)\) ）来表示.

注意：不要把上面的空心方邻域错写成: (请指出错在何处？)

\[ \{(x, y) | \quad 0 < | x - x _ {0} | < \delta , 0 < | y - y _ {0} | < \delta \}. \]

2. 点和点集之间的关系

(i) 内点 - 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点；由 \(E\) 的全体内点所构成的集合称为 \(E\) 的内部，记作 int \(E\) .

(ii) 外点 - 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点；由 \(E\) 的全体外点所构成的集合称为 \(E\) 的外部.

(iii) 界点 - 若 \(\forall\delta > 0\) , 恒有

\[ U (A; \delta) \cap E \neq \varnothing \text {且} U (A; \delta) \cap E ^ {\mathrm{c}} \neq \varnothing \]

(其中 \(E^{c} = R^{2} \backslash E\))，则称点 A 是 E 的界点；由 E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界；记作 \(\partial E\) .

注 E 的内点必定属于 E;

E 的外点必定不属于 E;

E 的界点可能属于 E，也可能不属于 E.

只有当 \(\partial E \subset E\) 时，E 的外部与 \(E^{c}\) 才是两个相同的集合.

例 (1)

设平面点集 (见图 16-3)

\[ D = \left\{(x, y) \mid 1 \leq x ^ {2} + y ^ {2} < 4 \right\}. \tag {4} \]

满足 \(1 < x^{2} + y^{2} < 4\) 的一切点都是 \(D\) 的内点；

满足 \(x^{2} + y^{2} = 1\) 的一切点是 D 的界点，它们都属于 D;

满足 \(x^{2} + y^{2} = 4\) 的一切点也是 D 的界点，但它们都不属于 D.

点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内 - 外” 来区分的.

还可按 “疏 - 密” 来区分，即在点 \(A\) 的近旁是否密集着 \(E\) 中无穷多个点：

(i) 聚点 —— 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点.

注 1 聚点本身可能属于 E, 也可能不属于 E.

注 2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 \(U(A)\) 内都含有 E 中的无穷多个点”.

注 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集，记作 \(E^{d}\) (或 \(E'\));

又称 \(E \cup E^{d}\) 为 E 的闭包，记作 \(\overline{E}\) .

例如，对于例 1 \(D = \left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2} + y^{2} < 4\right\}\) 中的点集 D, 它的导集与闭包同为

\[ D ^ {\mathrm{d}} = \left\{(x, y) \mid 1 \leq x ^ {2} + y ^ {2} \leq 4 \right\} = \bar {D}. \]

其中满足 \(x^{2} + y^{2} = 4\) 的那些聚点不属于 D，而其余所有聚点都属于 D.

(ii) 孤立点 —— 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点.

注 孤立点必为界点；

内点、不是孤立点的界点必为聚点；

既非聚点，又非孤立点，则必为外点.

例 (2)

设点集 \(E = \{(p, q) \mid p, q \text{ 为任意整数 }\}\) .

显然，E 中所有点 \((p, q)\) 全为 E 的孤立点；并有

\[ E ^ {\mathrm{d}} = \varnothing , \quad \text { int } E = \varnothing , \quad \partial E = E. \]

3. 一些重要的平面点集

根据点集所属的点所具有的特殊性质，可来定义一些重要的点集.

开集 —— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 E 为开集.

闭集 —— 若 E 的所有聚点都属于 E （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 E 为闭集.

—— 若 E 没有聚点 (即 \(E^{d} = \varnothing\)), 这时也称 E 为闭集. （例：离散点集）

\[ C = \{(x, y) \mid x ^ {2} + y ^ {2} < r ^ {2} \} \text {是开集} \]

\[ S = \{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} \text {是闭集} \]

\[ \mathbb {R} ^ {2} = \{(x, y) \mid - \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty \} \text {既是开集又是闭集} \]

\[ D = \{(x, y) \mid 1 \leq x ^ {2} + y ^ {2} < 4 \} \text {既不是开集又不是闭集.} \]

在平面点集中，只有 \(R^{2}\) 与 \(\varnothing\) 是既开又闭的.

3. 一些重要的平面点集

根据点集所属的点所具有的特殊性质，可来定义一些重要的点集.

开集 —— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 E 为开集.

闭集 —— 若 E 的所有聚点都属于 E （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 E 为闭集.

—— 若 E 没有聚点 (即 \(E^{d} = \varnothing\)), 这时也称 E 为闭集. （例：离散点集）

\[ C = \{(x, y) \mid x ^ {2} + y ^ {2} < r ^ {2} \} \text {是开集} \]

\[ S = \{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} \text {是闭集} \]

\[ \mathbb {R} ^ {2} = \{(x, y) \mid - \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty \} \text {既是开集又是闭集} \]

\[ D = \{(x, y) \mid 1 \leq x ^ {2} + y ^ {2} < 4 \} \text {既不是开集又不是闭集.} \]

在平面点集中，只有 \(R^{2}\) 与 \(\varnothing\) 是既开又闭的.

3. 一些重要的平面点集

根据点集所属的点所具有的特殊性质，可来定义一些重要的点集.

开集 —— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 E 为开集.

闭集 —— 若 E 的所有聚点都属于 E （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 E 为闭集.

—— 若 E 没有聚点 (即 \(E^{d} = \varnothing\)), 这时也称 E 为闭集. （例：离散点集）

\[ C = \{(x, y) \mid x ^ {2} + y ^ {2} < r ^ {2} \} \text {是开集} \]

\[ S = \{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} \text {是闭集} \]

\[ \mathbb {R} ^ {2} = \{(x, y) \mid - \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty \} \text {既是开集又是闭集} \]

\[ D = \{(x, y) \mid 1 \leq x ^ {2} + y ^ {2} < 4 \} \text {既不是开集又不是闭集.} \]

在平面点集中，只有 \(R^{2}\) 与 \(\varnothing\) 是既开又闭的.

开域 —— 若非空开集 E 具有连通性，即 E 中任意两点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接，则称 E 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集。

闭域 —— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.

区域 —— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

不难证明：闭域必为闭集；而闭集不一定为闭域（闭域要有对应的开域。例：离散点集不是闭域）.

C 是开域，

S 是闭域，

\(R^{2}\) 既是开域又是闭域，

D 是区域 (既不是开域又不是闭域).

\[ \boldsymbol {G} = \{(x, y) \mid x y > 0 \}, \tag {5} \]

它是 I、III 两象限之并集。虽然它是开集，但因不具有连通性，所以它既不是开域，也不是区域。

有界点集 —— 对于平面点集 E，若 \(\exists r > 0\) ，使得

\[ E \subset U (O; r), \]

其中 O 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 E 为有界点集.

否则就为无界点集（请具体写出定义）.

前面 (2), (3), (4) 都是有界集，(1) 与 (5) 是无界集.

E 为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域

\[ [ a, b ] \times [ c, d ] \supset E. \]

此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映．所谓点集 E 的直径，就是

\[ d (E) = \sup _ {P _ {1}, P _ {2} \in E} \rho \left(P _ {1}, P _ {2}\right), \]

其中 \(\rho(P_1, P_2)\) 是 \(P_1(x_1, y_1)\) 与 \(P_2(x_2, y_2)\) 之间的距离，即

\[ \rho (P _ {1}, P _ {2}) = \sqrt {(x _ {1} - x _ {2}) ^ {2} + (y _ {1} - y _ {2}) ^ {2}}. \]

于是，当且仅当 \(d(E)\) 为有限值时，E 为有界点集.

根据距离的定义，不难证明如下三角形不等式:

\[ \rho \left(P _ {1}, P _ {2}\right) \leq \rho \left(P _ {1}, P _ {3}\right) + \rho \left(P _ {2}, P _ {3}\right). \]

邻域 \(\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的 导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) （或 \(E^{\prime}\) ）

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

- 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \backslash E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) （或 \(E^{\prime}\) ）

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

- 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \backslash E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

- 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

- 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(\mathbf{A}\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \setminus E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

- 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

邻域 \(\left\{(x,y)\mid (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) or \(\{(x,y)\mid |x - x_0| < \delta ,|y - y_0| < \delta \}\)

- 空心邻域 \(\left\{(x,y)\mid 0 < (x - x_0)^2 +(y - y_0)^2 < \delta^2\right\}\) 或 \(\{(x,y)|\quad |x - x_0| < \delta,|y - y_0| < \delta,(x,y)\neq (x_0,y_0)\}\)

- 内点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \subset E\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的内点

- 外点 若 \(\exists \delta > 0\) , 使 \(U(A; \delta) \cap E = \varnothing\) , 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的外点

- 界点 若 \(\forall \delta > 0\) , 恒有 \(U(A; \delta) \cap E \neq \varnothing\) 且 \(U(A; \delta) \cap E^{\mathrm{c}} \neq \varnothing\) , (其中 \(E^{\mathrm{c}} = \mathbb{R}^{2} \backslash E\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的界点

- 聚点 若在 \(A\) 的任何空心邻域 \(U^{\circ}(A)\) 内都含有 \(E\) 中的点，则称 \(A\) 是点集 \(E\) 的聚点

- 导集 \(E\) 的全体聚点所构成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E^{\mathrm{d}}\) (或 \(E'\))

- 闭包 \(E \cup E^{\mathrm{d}}\) 为 \(E\) 的闭包

- 孤立点 若点 \(A \in E\) , 但不是 \(E\) 的聚点 (即有某 \(\delta > 0\) , 使得 \(U^{\circ}(A; \delta) \cap E = \varnothing\)), 则称点 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点

- 开集 若 \(E\) 所属的每一点都是 \(E\) 的内点（即 \(E = \operatorname{int} E\) ），则称 \(E\) 为开集

- 闭集 若 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) （即 \(\bar{E} = E\) ），则称 \(E\) 为闭集

- 开域 若非空开集 \(E\) 具有连通性，即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接，则称 \(E\) 为开域。简单地说，开域就是非空连通开集

- 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域

- 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域.

有界点集 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r > 0\) , 使得 \(E \subset U(O; r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 为有界点集.

例 (3)

证明：对任何 \(S \subset R^{2}\) , \(\partial S\) 恒为闭集 (\(\partial S\) 的所有聚点 \(\in \partial S\)).

证明.

设 \(x_0\) 为 \(\partial S\) 的任一聚点（按照聚点定义，它本身可以 \(\notin \partial S\) ），欲证 \(x_0 \in \partial S\) （即 \(x_0\) 亦为 \(S\) 的界点）.

为此 \(\forall\varepsilon>0\) ，由聚点定义，存在

\[ y \in U ^ {o} (x _ {0}; \varepsilon) \cap \partial S. \]

再由 \(y\) 为界点的定义，\(\forall U(y; \delta) \subset U(x_0; \varepsilon)\) , 在 \(U(y; \delta)\) 内既有 \(S\) 的点，又有非 \(S\) 的点。由此推知在 \(U(x_0; \varepsilon)\) 内既有 \(S\) 的点，又有非 \(S\) 的点.

所以，由 \(\varepsilon\) 的任意性， \(x_0\) 为 \(S\) 的界点，即 \(x_0 \in \partial S\) ，也就证得 \(\partial S\) 为闭集.

注 类似地可以证明：对任何点集 \(S \subset R^{2}\) ，导集 \(S^{d}\) 亦恒为闭集. (留作习题)

例 \((4^{*})\)

设 \(E \subset R^{2}\) .

\(E\) 为闭集 \(\Longleftrightarrow E = E\cup \partial E\) 或 \(E^{\mathrm{c}} = \operatorname {int}(E^{c}).\)

证 下面按循环流程来分别作出证明.

\[ E = E \cup E ^ {\mathrm{d}} \stackrel {{①}} {{\Rightarrow}} E = E \cup \partial E \stackrel {{②}} {{\Rightarrow}} E ^ {\mathrm{c}} = \operatorname{int} (E ^ {\mathrm{c}}) \]

① 已知 E 为闭集 (即 \(E = E \cup E^{d}\)), 欲证 \(E = E \cup \partial E\) .

为此 \(\forall p \in \partial E, p\) 或是 E 的聚点，或是 E 的孤立点.

从而 \(\partial E\subset E\) ，故 \(E\cup \partial E\subset E.\)

反之显然有 \(E \subset E \cup \partial E\) .

综合起来，便证得 \(E = \operatorname{int} E \cup \partial E\) .

\[ E = E \bigcup E ^ {\mathrm{d}} \stackrel {{①}} {{\Rightarrow}} E = E \bigcup \partial E \stackrel {{②}} {{\Rightarrow}} E ^ {\mathrm{c}} = \operatorname{int} (E ^ {\mathrm{c}}) \]

② 已知 \(E = E \cup \partial E\) ，欲证 \(E^{c} = \operatorname{int}(E^{c})\) .

为此 \(\forall p \in E^{c}\) ，则 1) \(p \notin E;\)

2) 而由假设， \(\partial E \subset E\) ，故 \(p\) 不是边界点，所以 \(p\) 必为 \(E\) 的外点，按定义， \(\exists \delta > 0\) ，使 \(U(p; \delta) \cap E = \varnothing\) 。从而 \(U(p; \delta) \subset E^{\mathrm{c}}\) ，故 \(p\) 是 \(E^{\mathrm{c}}\) 的内点，即 \(E^{\mathrm{c}} \subset \operatorname{int}(E^{\mathrm{c}})\) 。反之显然有 \(\operatorname{int}(E^{\mathrm{c}}) \subset E^{\mathrm{c}}\) 。

这就证得 \(E^{c} = \operatorname{int}(E^{c})\) .

③ 已知 \(E^{c} = \operatorname{int}(E^{c})\) ，欲证 \(E = E \cup E^{d}\) .

为此 \(\forall p\in E^{\mathrm{d}}\) ，据条件可证 \(p\in E\) （若不然， \(p\in E^{\mathrm{c}}\) ，从而由条件推知 \(p\in \operatorname {int}(E^{\mathrm{c}})\) ，故 \(\exists \delta >0\) 使 \(U(p;\delta)\subset E^{\mathrm{c}}\) ，与 \(p\) 为 \(E\) 的聚点相矛盾)，故 \(E^{\mathrm{d}}\subset E\)

\[ E = E \bigcup E ^ {\mathrm{d}} \stackrel {{①}} {{\Rightarrow}} E = E \bigcup \partial E \stackrel {{②}} {{\Rightarrow}} E ^ {\mathrm{c}} = \operatorname{int} (E ^ {\mathrm{c}}) \]

② 已知 \(E = E \cup \partial E\) ，欲证 \(E^{c} = \operatorname{int}(E^{c})\) .

为此 \(\forall p \in E^{c}\) ，则 1) \(p \notin E;\)

2) 而由假设， \(\partial E \subset E\) ，故 \(p\) 不是边界点，所以 \(p\) 必为 \(E\) 的外点，按定义， \(\exists \delta > 0\) ，使 \(U(p; \delta) \cap E = \varnothing\) 。从而 \(U(p; \delta) \subset E^{\mathrm{c}}\) ，故 \(p\) 是 \(E^{\mathrm{c}}\) 的内点，即 \(E^{\mathrm{c}} \subset \operatorname{int}(E^{\mathrm{c}})\) 。反之显然有 \(\operatorname{int}(E^{\mathrm{c}}) \subset E^{\mathrm{c}}\) 。

这就证得 \(E^{c} = \operatorname{int}(E^{c})\) .

③ 已知 \(E^{c} = \operatorname{int}(E^{c})\) ，欲证 \(E = E \cup E^{d}\) .

为此 \(\forall p\in E^{\mathrm{d}}\) ，据条件可证 \(p\in E\) （若不然， \(p\in E^{\mathrm{c}}\) ，从而由条件推知 \(p\in \operatorname {int}(E^{\mathrm{c}})\) ，故 \(\exists \delta >0\) 使 \(U(p;\delta)\subset E^{\mathrm{c}}\) ，与 \(p\) 为 \(E\) 的聚点相矛盾)，故 \(E^{\mathrm{d}}\subset E\)

注 此例指出了如下两个重要结论:

(i) 闭集也可用 “\(E = E \cup \partial E\)” 来定义（只是使用起来一般不如 “\(E = E \cup E^{\mathrm{d}}\)” 方便，因为有关聚点有许多便于应用的性质).

(ii) 闭集与开集具有对偶性质 —— 闭集的余集为开集；开集的余集为闭集。利用此性质，有时可以通过讨论 \(E^c\) 来认识 \(E\) 。

例 (5)

以下两种说法在一般情形下为什么是错的？

答 (i) 例如取 \(S = \{(x, y) \mid xy \geq 0\}\) , 这是一个非空连通闭集.

但因它是 \(G = \{(x, y) \mid xy > 0\}\) 与其边界（二坐标轴）的并集（即 \(S = G \cup \partial G\) ），从而因为 \(G\) 不是开域，故 \(S\) 不是闭域（不符合闭域的定义，定义为：开域连同其边界所成的集合称为闭域）.

(ii) 如图所示，(a) 中的点集为 D;

易见 E 为一开域，据定义 F 则为闭域；然而

\[ D \neq E \cup \partial E = F, \]

故 D 不是闭域，从而 \(\partial(D\backslash\partial D)\) 与 \(\partial D\) 不一定相同.

\(\mathbb{R}^2\) 上的完备性定理

1. 平面点列的收敛性定义及柯西准则

反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础.

现在把这些定理推广到 \(\mathbb{R}^2\) ，它们同样是二元函数极限理论的基础

定义 (1. 收敛)

设 \(\{P_n\} \subset \mathbb{R}^2\) 为一列点，\(P_0 \in \mathbb{R}^2\) 为一固定点.

若 \(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathrm{N}_{+}\) , 使当 \(n > N\) 时，\(P_{n} \in U(P_{0}; \varepsilon)\) , 则称点列 \(\{P_{n}\}\) 收敛于点 \(P_{0}\) , 记作

\[ \lim _ {n \to \infty} P _ {n} = P _ {0} \text {或} P _ {n} \to P _ {0} (n \to \infty). \]

当 \(P_{n}\) 与 \(P_{0}\) 分别为 \((x_{n}, y_{n})\) 与 \((x_{0}, y_{0})\) 时，显然有

\[ \lim _ {n \to \infty} P _ {n} = P _ {0} \Leftrightarrow \lim _ {n \to \infty} x _ {n} = x _ {0} \text {且} \lim _ {n \to \infty} y _ {n} = y _ {0}; \]

若记 \(\rho_{n}=\rho(P_{n},P_{0})\) ，其中 \(\rho\) 为两点间距离，同样地有

\[ \lim _ {n \to \infty} P _ {n} = P _ {0} \Leftrightarrow \lim _ {n \to \infty} \rho_ {n} = 0. \]

由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.

定理 (16.1 柯西准则)

\(\{P_{n}\}\subset\mathbb{R}^{2}\) 收敛的充要条件是:

\(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}\) , 使当 \(n > N\) 时，都有

\[ \rho \left(P _ {n}, P _ {n + p}\right) < \varepsilon , \quad \forall p \in \mathrm{N} _ {+}. \tag {6} \]

证明.

必要性

设 \(\lim_{n\to \infty}P_n = P_0\) ，则由定义 \(1,\forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbf{N}_{+}\) ，当 \(n > N\) （也有 \(n + p > N\) ）时，恒有

\[ \rho \left(P _ {n}, P _ {0}\right) < \frac {\varepsilon}{2}, \quad \rho \left(P _ {n + p}, P _ {0}\right) < \frac {\varepsilon}{2}. \]

应用三角形不等式，立刻得到

\[ \rho \left(P _ {n}, P _ {n + p}\right) \leq \rho \left(P _ {n}, P _ {0}\right) + \rho \left(P _ {n + p}, P _ {0}\right) < \varepsilon . \]

定理 (16.1 柯西准则（续）)

\(\{P_{n}\}\subset\mathbb{R}^{2}\) 收敛的充要条件是:

\(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}\) , 使当 \(n > N\) 时，都有

\[ \rho \left(P _ {n}, P _ {n + p}\right) < \varepsilon , \quad \forall p \in \mathrm{N} _ {+}. \tag {6} \]

证明（续）.

充分性

当 (6) 式成立时，同时有

\[ \left| x _ {n + p} - x _ {n} \right| \leq \rho \left(P _ {n}, P _ {n + p}\right) < \varepsilon , \]

\[ \left| y _ {n + p} - y _ {n} \right| \leq \rho \left(P _ {n}, P _ {n + p}\right) < \varepsilon . \]

这说明 \(\{x_{n}\}\) 和 \(\{y_{n}\}\) 都满足关于数列的柯西准则，所以它们都收敛.

设 \(\lim_{n\to \infty}x_n = x_0,\lim_{n\to \infty}y_n = y_0\) ，从而由点列收敛概念，推知 \(\{P_n\}\) 收敛于点 \(P_0(x_0,y_0)\)

例 (6)

\(P_{0}\) 为 E 的聚点 \(\Leftrightarrow\) 存在各项互异的 \(\{P_{n}\} \subset E\) ，使得 \(\lim_{n \to \infty} P_{n} = P_{0}\) .

(这是一个重要命题，证明留作习题.)

2. 区域套定理.

定理 (16.2 闭域套定理)

设 \(\{D_n\}\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一列闭域，它满足:

(i) \(D_{n}\supset D_{n + 1},n = 1,2,\dots ;\)

(ii) \(d_{n} = d(D_{n}),\lim_{n\to \infty}d_{n} = 0.\) 则存在惟一的点

\[ P _ {0} \in D _ {n}, n = 1, 2, \dots . \]

证 如图 16-7 所示，任取点列 \(P_{n} \in D_{n}, n = 1, 2, \cdots\) .

1) 由于 \(D_{n+p} \subset D_n\) ，因此 \(P_n, P_{n+p} \in D_n\)

从而有

\[ \rho \left(P _ {n}, P _ {n + p}\right) \leq d _ {n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . \]

由柯西准则，存在 \(P_0\in \mathbf{R}^2\) ，使得

\[ \lim _ {n \to \infty} P _ {n} = P _ {0}. \]

2) 任意取定 n, 对任何正整数 p, 有 \(P_{n+p} \in D_{n+p} \subset D_n\) .

再令 \(p \rightarrow \infty\) ，由于 \(D_{n}\) 是闭域，故必定是闭集，因此 \(D_{n}\) 的聚点必定属于 \(D_{n}\) ，则得

\[ P _ {0} = \lim _ {p \rightarrow \infty} P _ {n + p} \in D _ {n}, n = 1, 2, \dots . \]

3) 最后证明 \(P_{0}\) 的惟一性。若还有 \(P_{0}^{\prime} \in D_{n}, n = 1, 2, \cdots\) , 则由

\[ \rho \left(P _ {0}, P _ {0} ^ {\prime}\right) \leq \rho \left(P _ {0}, P _ {n}\right) + \rho \left(P _ {0} ^ {\prime}, P _ {n}\right) \leq 2 d _ {n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty , \]

得到 \(\rho(P_{0},P_{0}^{\prime})=0,\) 即 \(P_{0}=P_{0}^{\prime}.\)

推论

对上述闭域套 \(\{D_{n}\}, \forall\varepsilon>0, \exists N\in N_{+}\) ，当 n>N 时， \(D_{n}\subset U(P_{0};\varepsilon)\) .

注 把 \(\{D_{n}\}\) 改为闭集套时，上面的命题同样成立.

定理 (16.3 聚点定理)

若 \(E \subset \mathbb{R}^2\) 为有界无限点集，则 \(E\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 中至少有一个聚点.

证 现用闭域套定理来证明。由于 \(E\) 有界，故存在一个闭正方形 \(D_{1} \supset E\) . 如图 16-8 所示，把 \(D_{1}\) 分成四个相同的小正方形，则在其中至少有一小闭正方形含有 \(E\) 中无限多个点，把它记为 \(D_{2}\) .

\(D_{2}\) 如上法分成四个更小的正方形，其中又至少有一个小闭正方形 \(D_{3}\) 含有 \(E\) 的无限多个点．如此下去，得到一个闭正方形序列：

\[ D _ {1} \supset D _ {2} \supset D _ {3} \supset \dots . \]

很显然， \(\{D_n\}\) 的边长随着 \(n\to \infty\) 而趋于零

于是由闭域套定理，存在一点

\[ M _ {0} \in D _ {n}, n = 1, 2, \dots . \]

最后，由区域套定理的推论，\(\forall \varepsilon > 0\) , 当 \(n\) 充分大时，\(D_{n} \subset U(M_{0}; \varepsilon)\) . 又由 \(D_{n}\) 的取法，知道 \(U(M_{0}; \varepsilon)\) 中含有 \(E\) 的无限多个点，这就证得了 \(M_{0}\) 是 \(E\) 的聚点.

推论

任一有界无限点列 \(\{P_n\} \subset \mathbb{R}^2\) 必存在收敛子列 \(\{P_{n_k}\}\) .

(证明可仿照 R 中的相应命题去进行.)

有限覆盖定理（一维）

证明步骤

1. 假设与目标

考虑闭区间 \([a, b]\) 和其一族开覆盖 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}\) 。假设这族开覆盖没有有限子覆盖，即无法从中选出有限多个 \(U_{\alpha_t}\) 覆盖整个 \([a, b]\) 。我们的目标是证明这种假设必然导致矛盾，从而证明必存在有限子覆盖。

2. 构造嵌套区间序列

利用区间二分法，将区间逐步分割：

\[ I _ {0} \supset I _ {1} \supset I _ {2} \supset \dots \]

且每个 \(I_{n}\) 均无法被有限个 \(U_{\alpha}\) 覆盖。

3. 利用区间套定理

由区间套定理（或闭区间嵌套定理）可知，所有嵌套的闭区间 \(I_{n}\) 的交集

\[ \bigcap_ {n = 0} ^ {\infty} I _ {n} \]

非空。设取一个点 x 属于这个交集，则 \(x \in [a, b]\) 。

4. 利用开覆盖的局部性质

因为 \(\{U_{\alpha}\}\) 是 \([a,b]\) 的开覆盖，所以存在某个开集 \(U_{\alpha_0}\) 使得 \(x\in U_{\alpha_0}\)

由于 \(U_{\alpha_0}\) 为开集，存在一个正数 \(\delta > 0\) 使得

\[ (x - \delta , x + \delta) \subset U _ {\alpha_ {0}}. \]

另一方面，由于区间 \(I_{n}\) 的直径趋于零，当 \(n\) 足够大时， \(I_{n}\) 的长度小于 \(\delta\) ，且 \(x \in I_{n}\) 意味着整个 \(I_{n} \subset (x - \delta, x + \delta)\) 。

5. 矛盾的产生

于是，对于足够大的 \(n\) ，区间 \(I_{n}\) 完全包含于 \(U_{\alpha_0}\) 中，从而 \(I_{n}\) 可以由单个开集 \(U_{\alpha_0}\) 覆盖，即 \(I_{n}\) 有一个有限（仅一个元素）的子覆盖。

这与构造 \(I_{n}\) 时的条件 “每个 \(I_{n}\) 不能被有限个 \(U_{\alpha}\) 覆盖” 矛盾。

定理 (16.4 有限覆盖定理)

设 \(D \subset R^{2}\) 为一有界闭域，\(\{\Delta_{a}\}\) 为一族开域，它覆盖了 D (即 \(D \subset \bigcup_{\alpha} \Delta_{\alpha}\)). 则在 \(\{\Delta_{\alpha}\}\) 中必存在有限个开域 \(\Delta_{1}, \Delta_{2}, \cdots, \Delta_{n}\) , 它们同样覆盖了 D, 即

\[ D \subset \bigcup_ {i = 1} ^ {n} \Delta_ {i}. \]

注 将本定理中的 \(D\) 改设为有界闭集，而将 \(\{\Delta_{\alpha}\}\) 改设为一族开集，此时定理结论依然成立.

例 (7*)

设 \(E \subset \mathbb{R}^2\) .

试证 E 为有界闭集 \(\Longleftrightarrow\) E 的任一无穷子集 \(E_{q}\) 必有聚点，且聚点恒属于 E.

证（必要性）1) E 有界 \(\Rightarrow E_{q}\) 有界，由聚点定理（若 \(E \subset R^{2}\) 为有界无限点集，则 E 在 \(R^{2}\) 中至少有一个聚点）， \(E_{q}\) 必有聚点.

2) 又因 \(E_{q}\) 的聚点亦为 \(E\) 的聚点，而 \(E\) 是闭集，所以该聚点必属于 \(E\) .

例 (7*(续))

设 \(E\subset \mathbb{R}^2\)

试证 E 为有界闭集 \(\Longleftrightarrow\) E 的任一无穷子集 \(E_{q}\) 必有聚点，且聚点恒属于 E.

证（充分性）先证 E 为有界集。倘若 E 为无界集，存在各项互异的点列 \(\{P_{k}\} \subset E\) , 使得

\[ \left| P _ {k} \right| = \rho (O, P _ {k}) > k, k = 1, 2, \dots . \]

易见 \(\{P_{k}\}\) 这个子集无聚点，这与已知条件相矛盾.

再证 \(E\) 为闭集．为此设 \(P_0\) 为 \(E\) 的任一聚点，由聚点的等价定义，存在各项互异的点列 \(\{P_k\} \subset E\) ，使

\[ \lim _ {k \to \infty} P _ {k} = P _ {0}. \]

现把 \(\{P_k\}\) 看作 \(E_{q}\) , 由条件 \(E_{q}\) 的聚点 (即 \(P_0\)) 必属于 \(E\) , 所以 \(E\) 为闭集.

二元函数

1. 函数 (或映射) 是两个集合之间的一种确定的对应关系. \(\mathbb{R}\) 到 \(\mathbb{R}\) 的映射是一元函数，\(\mathbb{R}^2\) 到 \(\mathbb{R}\) 的映射则是二元函数.

定义 (2)

设平面点集 \(D \subset \mathbb{R}^2\) ，若按照某对应法则 \(f, D\) 中每一点 \(P(x, y)\) 都有惟一确定的实数 \(z\) 与之对应，则称 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的二元函数（或称 \(f\) 为 \(D\) 到 \(\mathbb{R}\) 的一个映射），记作

\[ f: D \rightarrow \mathbb {R} \tag {7} \]

也可记作

\[ z = f (x, y), \quad (x, y) \in D; \]

或点函数形式

\[ z = f (P), \quad P \in D. \]

与一元函数相类似，称 D 为 f 的定义域；而称

\[ z = f (P) \text {或} z = f (x, y) \]

为 \(f\) 在点 \(P\) 的函数值；全体函数值的集合为 \(f\) 的值域，记作 \(f(D) \subset \mathbb{R}\) . 通常把 \(P\) 的坐标 \(x\) 与 \(y\) 称为 \(f\) 的自变量，而把 \(z\) 称为因变量.

当把 \((x,y)\in D\) 和它所对应的 \(z = f(x,y)\) 一起组成三维数组 \((x,y,z)\) 时，三维点集

\[ S = \{(x, y, z) \mid z = f (x, y), (x, y) \in D \} \subset \mathbb {R} ^ {3} \]

就是二元函数 \(f\) 的图象。通常该图象是一空间曲面，\(f\) 的定义域 \(D\) 是该曲面在 \(x\mathrm{Oy}\) 平面上的投影.

例 (8)

函数 \(z = 2x + 5y\) 的图象是 \(R^{3}\) 中的一个平面，其定义域是 \(R^{2}\) , 值域是 R.

例 (9)

\(z = \sqrt{1 - (x^{2} + y^{2})}\) 的定义域是 \(xOy\) 平面上的单位圆域 \(\{(x, y) \mid x^{2} + y^{2} \leq 1\}\) ，值域为区间 [0, 1]，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分（图 16-9）.

例 (10)

z = xy 是定义在 \(R^{2}\) 上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物面（图 16-10）

例 (11)

\(z=\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right]\) 是定义在 \(R^{2}\) 上的函数，值域是全体非负整数.

1. 若二元函数的值域 \(f(D)\) 是有界数集，则称函数 \(f\) 在 \(D\) 上为一有界函数 (如例 9 中的函数).

否则，若 \(f(D)\) 是无界数集，则称函数 \(f\) 在 \(D\) 上为一无界函数 (如例 8、10、11 中的函数). 与一元函数类似地，设 \(D \subset \mathbb{R}^2\) , 则有

\(f\) 在 \(D\) 上无界 \(\Leftrightarrow \exists \{P_k\} \subset D\) , 使 \(\lim_{k \to \infty} f(P_k) = \infty\) .

例 (12*)

设函数（此函数在以后还有特殊用处）

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} x y _ {x ^ {2} + y ^ {2}} ^ {x ^ {2} - y ^ {2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{array} \right. \]

试用等高线法讨论曲面 \(z = f(x, y)\) 的形状.

解 用 z = c (c 为一系列常数) 去截曲面 \(z = f(x, y)\) ，得等高线方程

\[ x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} = c \text {或} x y \left(x ^ {2} - y ^ {2}\right) = c \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right). \]

当 c=0 时，得 xOy 平面上的四条直线

\[ x = 0, y = 0, y = x, - x. \]

当 \(c \neq 0\) 时，由等高线的直角坐标方程难以看出它的形状。若把它化为极坐标方程，即令

\[ x = r \cos \theta , y = r \sin \theta , \]

得到

\[ r ^ {2} \sin 4 \theta = 4 c, \text {或} r ^ {2} = 4 c / \sin 4 \theta . \]

如图 16 - 12 所示，为 \(c = 0, \pm1, \pm3, \pm5\) 所对应的一族等高线.

由此便可想象曲面的大致形状如图 16-13 所示，坐标原点是曲面的一个鞍点，四道 “山谷” 与四道 “山脊” 在鞍点处相汇。

n 元函数

所有 n 个有序实数组 \((x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) 的全体称为 n 维向量空间，简称 n 维空间，记作 \(R^{n}\) . 其中每个有序实数组 \((x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) 称为 \(R^{n}\) 中的一个点；n 个实数 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 是这个点的坐标.

设 E 为 \(R^{n}\) 中的点集，若有某个对应法则 f, 使 E 中每一点 \(P(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) 都有惟一的一个实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数，记作

\[ f: E \to \mathbb {R} \]

也常写成

\[ y = f \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}\right), \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}\right) \in E, \]

或 \(y = f(P), P \in E.\)

对于后一种被称为 “点函数” 的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题；

同时，还可把二元函数的很多论断推广到 \(n(\geq 3)\) 元函数中来.

复习思考题

复习思考题

1. 前面正文中有如下命题：设 \(D \subset R^2\) , 则有

\[ f \text {在} D \text {上无界} \Leftrightarrow \exists \{P _ {k} \} \subset D, \text {使} \lim _ {k \to \infty} f (P _ {k}) = \infty . \]

试为之写出证明.

1. 试讨论有哪些方法可用来论证如下命题：“若 \(D \subset \mathbb{R}^2, A\) 是 \(D\) 的内点， \(B\) 是 \(D\) 的外点，则直线段 \(\overline{AB}\) 与 \(\partial D\) 至少有一交点。”（参见图 16-14.）

作业

P. 97

数学分析

2025-2026 (2)

Ch. 16b

沈超敏

计算机科学与技术学院

Ch. 16 多元函数的极限与连续

与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.

但因自变量个数的增多，导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式，

而 累次极限 是一元函数情形下所不会出现的.

§2 二元函数的极限

一、二元函数的极限

二、累次极限

二元函数的极限

定义 (1)

设二元函数 \(f\) 定义在 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上，\(P_0\) 为 \(D\) 的一个聚点，\(A\) 是一实数。若 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) , 使得当 \(P \in U^\circ(P_0; \delta) \cap D\) 时，都有

\[ | f (P) - A | < \varepsilon , \]

则称 f 在 D 上当 \(P \rightarrow P_{0}\) 时以 A 为极限，记作

\[ \lim_{\substack{P\to P_{0}\\ P\in D}}f(P) = A. \]

在对 \(P \in D\) 不致产生误解时，也可简单地写作

\[ \lim _ {P \to P _ {0}} f (P) = A. \]

当 \(P, P_{0}\) 分别用坐标 \((x, y), (x_{0}, y_{0})\) 表示时，上式也常写作

\[ \lim _ {(x, y) \to (x _ {0}, y _ {0})} f (x, y) = A \]

例 (1)

依定义验证 \(\lim_{(x,y)\to (2,1)}(x^2 +xy + y^2) = 7.\)

证 因为

\[ \begin{array}{l} \left| x ^ {2} + x y + y ^ {2} - 7 \right| = \left| (x ^ {2} - 4) + x y - 2 + (y ^ {2} - 1) \right| \\ = | (x + 2) (x - 2) + (x - 2) y + 2 (y - 1) + (y + 1) (y - 1) | \\ \leq | x - 2 | | x + y + 2 | + | y - 1 | | y + 3 |. \\ \end{array} \]

不妨先限制在点 \((2,1)\) 的方邻域

\[ \{(x, y) | | x - 2 | < 1, | y - 1 | < 1 \} \]

内来讨论，于是有

\[ \begin{array}{l} | y + 3 | = | y - 1 + 4 | \leq | y - 1 | + 4 < 5 \\ {| x + y + 2 |} = {| (x - 2) + (y - 1) + 5 |} \\ \leq | x - 2 | + | y - 1 | + 5 < 7. \\ \end{array} \]

所以

\[ \begin{array}{l} \left| x ^ {2} + x y + y ^ {2} - 7 \right| < 7 | x - 2 | + 5 | y - 1 | \\ < 7 (| x - 2 | + | y - 1 |). \\ \end{array} \]

\(\forall \varepsilon > 0\) ，取 \(\delta = \min \left(1, \frac{\varepsilon}{14}\right)\) ，当 \(|x - 2| < \delta, |y - 1| < \delta\) 且 \((x, y) \neq (2, 1)\) 时，就有

\[ \left| x ^ {2} + x y + y ^ {2} - 7 \right| < 7 \times 2 \delta = 1 4 \delta \leq \varepsilon . \]

这就证得

\[ \lim _ {(x, y) \to (2, 1)} \left(x ^ {2} + x y + y ^ {2}\right) = 7 \]

例 (2)

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{c l} x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array} \right. \]

证明 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.\)

证（证法一） \(\forall \varepsilon > 0\) ，由

\[ \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} - 0 \right| \leq \frac {x ^ {2} + y ^ {2}}{2} \left| \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} \right| = \frac {1}{2} \left| x ^ {2} - y ^ {2} \right| \leq \frac {1}{2} \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right), \]

可知 \(\exists\delta=\sqrt{2\varepsilon}\) ，当 \(0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\) 时，便有

\[ \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} - 0 \right| < \varepsilon \]

故 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.\)

注意 不要把上面的估计式错写成:

\[ \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} - 0 \right| \leq \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{2 x y} \right| \leq \frac {1}{2} \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right), \]

因为 \((x,y)\rightarrow(0,0)\) 的过程只要求 \((x,y)\neq(0,0)\) ，即 \(x^{2}+y^{2}\neq0\) ，而并不要求 \(xy\neq0\) .

(证法二) 作极坐标变换 \(x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi\) . 这时 \((x, y) \to (0, 0)\) 等价于 \(r \to 0\) (对任何 \(\varphi\)). 由于

\[ | f (x, y) - 0 | = \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} \right| \]

\[ = \frac {1}{4} r ^ {2} | \sin 4 \varphi | \leq \frac {1}{4} r ^ {2}, \]

因此，\(\forall \varepsilon > 0\) , 只须 \(r = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta = 2\sqrt{\varepsilon}\) , 对任何 \(\varphi\) 都有

\[ | f (x, y) - 0 | \leq {\frac {1}{4}} r ^ {2} < \varepsilon , \text { 即 } \lim _ {(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = 0. \]

复习：海涅归结原则（上册 P. 51）

定理

f 在 \(U^{\circ}(x_{0},\eta)\) 有定义. \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 存在的充要条件是:

对于在 \(U^{\circ}(x_0,\eta)\) 内以 \(x_0\) 为极限的任何数列 \(x_{n}\) , 极限 \(\lim_{n\to \infty}f(x_n)\) 都存在，并且相等.

归结原理的一个重要应用:

若存在 \(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\subset U^{\circ}(x_{0}),x_{n}\to x_{0},y_{n}\to x_{0}\) ，但是

\[ \lim _ {n \to \infty} f (x _ {n}) = A \neq B = \lim _ {n \to \infty} f (y _ {n}), \]

则 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 不存在.

下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则（而且证明方法也相类似）.

定理 (16.5)

\(\lim_{\substack{P\to P_{0}\\ P\in D}}f(P)=A\) 的充要条件是：对于 D 的任一子集 E,

只要 \(P_{0}\) 仍是 E 的聚点，就有 \(\lim_{\substack{P \to P_{0} \\ P \in E}} f(P) = A.\)

推论 (1)

若 \(\exists E_1 \subset D, P_0\) 是 \(E_1\) 的聚点，使 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in E_1}} f(P)\) 不存在，则 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in D}} f(P)\) 也不存在.

推论 (2)

若 \(\exists E_{1}, E_{2} \subset D, P_{0}\) 是它们的聚点，使得

\[ \lim_{\substack{P\to P_{0}\\ P\in E_{1}}}f(P) = A_{1}\text{与} \lim_{\substack{P\to P_{0}\\ P\in E_{2}}}f(P) = A_{2} \]

都存在，但 \(A_{1} \neq A_{2}\) , 则 \(\lim_{\substack{P \to P_{0} \\ P \in D}} f(P)\) 不存在.

推论 (3)

极限 \(\lim_{\substack{P\to P_0\\ P\in D}}f(P)\) 存在的充要条件是： \(D\) 中任一满足条件 \(P_{n}\neq P_{0}\) 且 \(\lim_{n\to \infty}P_n = P_0\) 的点列 \(\{P_n\}\) ，它所对应的函数列 \(\{f(P_n)\}\) 都收敛.

例 (3)

讨论 \(f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\) 当 \((x,y)\rightarrow(0,0)\) 时是否存在极限。

解 当动点 \((x,y)\) 沿着直线 y=mx 而趋于定点 \((0,0)\) 时，由于 \(f(x,y)=f(x,mx)=\frac{m}{1+m^{2}}\) ，因此有

\[ \lim_{\substack{(x,y)\to (0,0)\\ y = mx}}f(x,y) = \lim_{x\to 0}f(x,mx) = \frac{m}{1 + m^{2}}. \]

这说明动点沿不同斜率 \(m\) 的直线趋于原点时，对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在.

例 (4)

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & 0 < y < x ^ {2}, - \infty < x < + \infty \\ 0, & \text {其余部分}. \end{array} \right. \]

当 \((x,y)\) 沿任何直线趋于原点时，相应的 \(f(x,y)\) 都趋于 0，但这并不表明此函数在 \((x,y)\rightarrow (0,0)\) 时的极限为 0．因为当 \((x,y)\) 沿抛物线 \(y = kx^{2}(0 < k < 1)\) 趋于点 \(O\) 时， \(f(x,y)\) 将趋于 1．所以极限 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\) 不存在.

例 (5*)

\[ f (x, y) = {\frac {x y}{x + y}} \text { 在 } (x, y) \to (0, 0) \text { 时不存在极限 }. \]

解 利用定理 16.5 的推论 2，找出两条路径，使得 \((x,y)\rightarrow(0,0)\) 时，得到两个相异的极限.

第一条路径简单地取 y = x，此时有

\[ \lim_{\substack{(x,y)\to (0,0)\\ (y = x)}}\frac{xy}{x + y} = \lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{2x} = 0. \]

第二条路径可考虑能使 \(f(x,y)=\frac{xy}{x+y}\) 的分子与分母化为同阶的无穷小，导致极限不为 0.

按此思路的一种有效选择是取 \(y = x^{2} - x\) . 此时得到

\[ \lim_{\substack{(x,y)\to (0,0)\\ (y = x^{2} - x)}}\frac{xy}{x + y} = \lim_{x\to 0}\frac{x\left(x^{2} - x\right)}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}(x - 1) = -1, \]

这就达到了预期的目的.

定义 (2)

设 \(D\) 为二元函数 \(f\) 的定义域，\(P_0(x_0, y_0)\) 是 \(D\) 的一个聚点。若 \(\forall M > 0, \exists \delta > 0\) , 使得 \(\forall P(x, y) \in U^\circ(P_0; \delta) \cap D\) , 都有 \(f(x, y) > M\) , 则称 \(f\) 在 \(D\) 上当 \(P \to P_0\) 时，有非正常 (improper) 极限 \(+\infty\) , 记作

\[ \lim _ {(x, y) \to (x _ {0}, y _ {0})} f (x, y) = + \infty , \]

或

\[ \lim _ {P \to P _ {0}} f (P) = + \infty . \]

仿此可类似地定义:

\[ \lim _ {P \to P _ {0}} f (P) = - \infty \text {与} \lim _ {P \to P _ {0}} f (P) = \infty . \]

例 (6)

设 \(f(x,y) = \frac{1}{2x^2 + 3y^2}\) . 证明

\[ \lim _ {(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = + \infty . \]

证 此函数的图象见下图

因 \(2x^{2} + 3y^{2} < 4(x^{2} + y^{2})\) ，故对 \(\forall M > 0\) ，只需取 \(\delta = \frac{1}{2\sqrt{M}}\)

当 \(0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \frac{1}{2\sqrt{M}}\) 时，就有 \(2x^{2} + 3y^{2} < \frac{1}{M}\) ，即 \(\frac{1}{2x^2 + 3y^2} > M\) 。这就证得结果。

二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿，特别把 \(f(x, y)\) 看作点函数 \(f(P)\) 时，相应的证法也相同，这里不再一一叙述.

累次极限

在上面讨论的 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\) 中，自变量 \((x,y)\) 是以任何方式趋于 \((x_0,y_0)\) 的，这种极限也称为重极限.

下面要考察 \(x\) 与 \(y\) 依一定的先后顺序，相继趋于 \(x_0\) 与 \(y_0\) 时 \(f\) 的极限，这种极限称为累次极限.

定义 (3)

设 \(f(x,y),(x,y)\in D,D\) 在 \(x\) 轴、 \(y\) 轴上的投影分别为 \(X\) 、 \(Y\) , 即

\[ X = \{x \mid (x, y) \in D \}, Y = \{y \mid (x, y) \in D \}, \]

\(x_{0}, y_{0}\) 分别是 \(X, Y\) 的聚点。若对每一个 \(y \in Y (y \neq y_{0})\) , 存在极限 \(\lim_{x \to x_{0}} f(x, y)\) , 它一般与 \(y\) 有关，记作

\[ \varphi (y) = \lim _ {x \to x _ {0}} f (x, y) \]

如果进一步还存在极限 \(L = \lim_{y\to y_0}\varphi (y)\) ，则称此 \(L\) 为 \(f(x,y)\) 先对 \(x(\rightarrow x_0)\) 后对 \(y(\rightarrow y_0)\) 的累次极限，记作 \(L = \lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)\)

类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限：

\[ K = \lim _ {x \to x _ {0}} \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y). \]

注 累次极限与重极限是两个不同的概念，两者之间没有蕴含关系。下面三个例子将说明这一点。

例 (7)

设 \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\) . 由例 3 知道 \(f(x, y)\) 当 \((x, y) \to (0, 0)\) 时的重极限不存在。但当 \(y \neq 0\) 时，有

\[ \lim _ {x \to 0} \frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}} = 0, \]

从而又有

\[ \lim _ {y \to 0} \lim _ {x \to 0} \frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}} = 0. \]

同理可得

\[ \lim _ {x \to 0} \lim _ {y \to 0} \frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}} = 0. \]

这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.

例 (8)

\[ f (x, y) = \frac {x ^ {2} + y ^ {2} + x - y}{x + y}, \]

它关于原点的两个累次极限分别为

\[ \begin{array}{l} \lim _ {y \to 0} \lim _ {x \to 0} \frac {x ^ {2} + y ^ {2} + x - y}{x + y} = \lim _ {y \to 0} \frac {y ^ {2} - y}{y} = \lim _ {y \to 0} (y - 1) = - 1, \\ \lim _ {x \to 0} \lim _ {y \to 0} \frac {x ^ {2} + y ^ {2} + x - y}{x + y} = \lim _ {x \to 0} \frac {x ^ {2} + x}{x} = \lim _ {x \to 0} (x + 1) = 1. \\ \end{array} \]

当沿斜率不同的直线 \(y = mx, (x, y) \to (0, 0)\) 时，有

\[ \lim_{\substack{(x,y)\to (0,0)\\ y = mx}}\frac{x^{2} + y^{2} + x - y}{x + y} = \frac{1 - m}{1 + m}, \]

因此该函数的重极限不存在.

例 (9)

\[ f (x, y) = x \sin {\frac {1}{y}} + y \sin {\frac {1}{x}} \]

它关于原点的两个累次极限都不存在。这是因为对任何 \(y \neq 0\) , 而当 \(x \to 0\) 时，\(f\) 的第二项不存在极限.

同理，\(f\) 的第一项当 \(y \to 0\) 时也不存在极限.

但是由于

\[ \left| x \sin {\frac {1}{y}} + y \sin {\frac {1}{x}} \right| \leq | x | + | y |, \]

故按定义知道 \((x,y)\rightarrow(0,0)\) 时 f 的重极限存在，且

\[ \lim _ {(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = 0. \]

定理 (16.6)

若 \(f(x,y)\) 的重极限 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\) 与累次极限 \(\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)\) 都存在，则两者必定相等.

证 设 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y) = A,\) 则 \(\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\) 使得当 \(P(x,y)\in U^{\circ}(P_{0};\delta)\) 时，有

\[ \left| f (x, y) - A \right| < \varepsilon . \tag {1} \]

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式

\[ 0 < | x - x _ {0} | < \delta \tag {2} \]

的 \(x\) ，存在极限

\[ \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y) = \varphi (x). \tag {3} \]

回到不等式 (1), 让其中 \(y \to y_0\) , 由 (3) 可得

\[ \left| \varphi (x) - A \right| \leq \varepsilon \tag {4} \]

故由 (2), (4) 两式，证得 \(\lim_{x\to x_0}\varphi (x) = A\) ，即

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y) = \lim _ {(x, y) \to (x _ {0}, y _ {0})} f (x, y) = A. \]

由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.

\[ | f (x, y) - A | < \varepsilon . \]

\[ 0 < | x - x _ {0} | < \delta \]

\[ \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y) = \varphi (x). \]

推论 (1)

若重极限 \(\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)\) 和累次极限

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y), \lim _ {y \to y _ {0}} \lim _ {x \to x _ {0}} f (x, y) \]

都存在，则三者必定相等.

推论 (2)

若累次极限

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y) \text {与} \lim _ {y \to y _ {0}} \lim _ {x \to x _ {0}} f (x, y) \]

都存在但不相等，则重极限 \(\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)\) 必定不存在.

注意:

例 (10*)

设 \(f(x,y)\) 在点 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 的某邻域 \(U^{\circ}(P_{0})\) 内有定义，且满足:

(i) 在 \(U^{\circ}(P_{0})\) 内，对每个 \(y \neq y_{0}\) ，存在极限

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} f (x, y) = \psi (y); \]

(ii) 在 \(U^{\circ}(P_0)\) 内，关于 \(x\) 一致地存在极限

\[ \lim _ {y \to y _ {0}} f (x, y) = \varphi (x). \]

试证明: \(\lim_{x\to x_{0}}\lim_{y\to y_{0}}f(x,y)=\lim_{y\to y_{0}}\lim_{x\to x_{0}}f(x,y).\)

证 \(1^{\circ}\) （证明 \(\lim_{y\to y_0}\psi (y) = A\) 存在）

\(\forall\varepsilon>0,\) 由条件 (ii), 对一切 x 存在公共的 \(\delta>0,\) 只要 \(0<|y-y_{0}|<\delta\) (并使 \((x,y)\in U^{\circ}(P_{0})\)), 便有

\[ | f (x, y) - \varphi (x) | < \frac {\varepsilon}{2}. \]

于是当 \(0 < |y' - y_{0}| < \delta\) 时，有

\[ \left| f (x, y) - f \left(x, y ^ {\prime}\right) \right| \leq \left| f (x, y) - \varphi (x) \right| + \left| f \left(x, y ^ {\prime}\right) - \varphi (x) \right| < \varepsilon . \]

再令 \(x \to x_0\) ，由条件 (i) 又得

\[ \left| \psi (y) - \psi \left(y ^ {\prime}\right) \right| \leq \varepsilon . \]

根据柯西准则，证得 \(\lim_{y\to y_0}\psi (y) = A\) 存在.

\(2^{\circ}\) （证明 \(\lim_{x\to x_0}\varphi (x) = A\) ）

\(\forall \varepsilon > 0\) ，由

\[ | \varphi (x) - A | = | \varphi (x) - f (x, y) | + | f (x, y) - \psi (y) | + | \psi (y) - A |, \]

利用条件 (ii) 与结论 \(1^{\circ}\) , 当 \((x, y) \in U^{\circ}(P_{0})\) , 且 \(y\) 与 \(y_{0}\) 充分接近时，可使

\[ | \varphi (x) - f (x, y) | < \frac {\varepsilon}{3}, | \psi (y) - A | < \frac {\varepsilon}{3}; \]

再将 y 固定，由条件 (i), \(\exists\delta > 0\) , 当 \(0 < |x - x_{0}| < \delta\) 时，又有

\[ | f (x, y) - \psi (y) | < \frac {\varepsilon}{3} \]

这就证得 \(|\varphi (x) - A| < \varepsilon\) ，即

\[ \lim _ {x \to x _ {0}} \varphi (x) = \lim _ {y \to y _ {0}} \psi (y). \]

注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件。与定理 16.6 的推论 1 相比较，在这里的条件 (i) 与 (ii) 成立时，重极限 \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\) 未必存在.

巩固题

3、设重极限 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\) 和累次极限 \(\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y)\) 存在，则下列陈述正确的是（）

\[ f (x, y) = x \sin \frac {1}{y} + y \sin \frac {1}{x} \quad (x \neq 0, y \neq 0) \]

巩固题

3、设重极限 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\) 和累次极限 \(\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y)\) 存在，则下列陈述正确的是（）

\[ f (x, y) = x \sin {\frac {1}{y}} + y \sin {\frac {1}{x}} \quad (x \neq 0, y \neq 0) \]

巩固题

\[ u (x, y) = x y \sin {\frac {1}{\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \quad (x, y) \neq 0 \]

在 \((0,0)\) 是否存在极限？

巩固题

步骤一：估计函数大小

我们知道 \(|\sin (\cdot)|\leq 1\) ，所以有：

\[ | u (x, y) | = | x y | \cdot \left| \sin \left(\frac {1}{\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}\right) \right| \leq | x y | \]

接下来对 \(|xy|\) 进一步估计。

步骤二：转极坐标估计

设 \(x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta\) ，则：

\[ | x y | = | r \cos \theta \cdot r \sin \theta | = r ^ {2} | \cos \theta \sin \theta | \leq r ^ {2} \]

所以我们有：

\[ | u (x, y) | \leq r ^ {2} \]

√ 步骤三：应用夹逼准则

因为当 \((x,y)\to (0,0)\) ，即 \(r\to 0\) ，有：

\[ 0 \leq | u (x, y) | \leq r ^ {2} \rightarrow 0 \]

复习思考题

试问累次极限 \(\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)\) 与 \(\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)\) 是否就是动点 \((x,y)\) 按图 16-17 中两条特殊路径 \(l_{1}\) 与 \(l_{2}\) 分别趋向 \((x_0,y_0)\) 时 \(f(x,y)\) 的极限？并由此说明定理 16.6 的推论 2 与定理 16.5 的推论 2 是不是同一回事？

作业

P 104

1 单、4

数学分析

2025-2026 (2)

Ch. 16c

沈超敏

计算机科学与技术学院

多元函数的极限与连续

无论是单元微积分还是多元微积分，其中所讨论的函数，最重要的一类就是连续函数.

二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些；而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质，二者完全相同.

§3 二元函数的连续性

二元函数的连续性的概念

1. 连续性

定义 (1)

设 \(f\) 为定义在点集 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上的二元函数，\(P_0 \in D\) . 若 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) , 只要 \(P \in U(P_0; \delta) \cap D\) , 就有

\[ \left| f (P) - f \left(P _ {0}\right) \right| < \varepsilon , \]

则称 f 关于集合 D 在点 \(P_{0}\) 连续.

在不致误解的情形下，也称 f 在点 \(P_{0}\) 连续.

若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续，则称 f 为 D 上的连续函数.

由上述定义知道：若 \(P_{0}\) 是 D 的孤立点，则 \(P_{0}\) 必定是 f 的连续点.

若 \(P_{0}\) 是 D 的聚点，则 f 关于集合 D 在点 \(P_{0}\) 连续等价于

\[ \lim_ {\substack {P \rightarrow P _ {0}\\P \in D}} f (P) = f \left(P _ {0}\right) \tag{2} \]

如果 \(P_0\) 是 \(D\) 的聚点，而 (2) 式不成立 (其含义与一元函数的对应情形相同), 则称 \(P_0\) 是 \(f\) 的不连续点 (或称间断点).

特别当 (2) 式极限存在，但不等于 \(f(P_0)\) 时，\(P_0\) 是 \(f\) 的可去间断点.

例如，\(f(x,y) = x^{2} + xy + y^{2}\) (上节例 1)

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array} \right. (\text {上节例} 2) \]

在原点均连续

\[ f (x, y) = \frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}} (\text {上节例} 3), \]

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} {1,} & {0 < y < x ^ {2}, - \infty < x < + \infty ,} \\ {0,} & {\text {其余部分}.} \end{array} \right. (\text {上节例} 4), \]

在原点均不连续.

连续的例子

例 (2 上次课)

设

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{c l} x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array} \right. \]

证明 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.\)

证（证法一） \(\forall \varepsilon > 0\) ，由

\[ \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} - 0 \right| \leq \frac {x ^ {2} + y ^ {2}}{2} \left| \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} \right| = \frac {1}{2} \left| x ^ {2} - y ^ {2} \right| \leq \frac {1}{2} \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right), \]

可知 \(\exists\delta=\sqrt{2\varepsilon}\) ，当 \(0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\) 时，便有

\[ \left| x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} - 0 \right| < \varepsilon \]

故 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.\)

不连续的例子

例 (3 上次课)

讨论 \(f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\) 当 \((x,y)\rightarrow(0,0)\) 时是否存在极限。

解 当动点 \((x,y)\) 沿着直线 y=mx 而趋于定点 \((0,0)\) 时，由于 \(f(x,y)=f(x,mx)=\frac{m}{1+m^{2}}\) ，因此有

\[ \lim_{\substack{(x,y)\to (0,0)\\ y = mx}}f(x,y) = \lim_{x\to 0}f(x,mx) = \frac{m}{1 + m^{2}}. \]

这说明动点沿不同斜率 \(m\) 的直线趋于原点时，对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在.

稍作修改，使其在直线上连续

又若把上述例 3 的函数改为

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \in \{(x, y) | y = m x, x \neq 0 \}, \\ \frac {m}{1 + m ^ {2}}, & (x, y) = (0, 0), \end{array} \right. \]

其中 m 为固定实数，亦即函数 f 只定义在 y = mx 上，这时由于

\[ \lim_{\substack{(x,y)\to (0,0)\\ y = mx}}f(x,y) = \frac{m}{1 + m^{2}} = f(0,0), \]

因此 f 在原点沿着直线 y = mx 是连续的.

例 (1)

讨论函数

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {x ^ {\alpha}}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array} \right. (\alpha > 0) \]

在坐标原点的连续性.

解 由于当 \(\alpha > 2\) 且 \(r \to 0\) 时，

\[ | f (r \cos \theta , r \sin \theta) | = \left| r ^ {\alpha - 2} (\cos \theta) ^ {\alpha} \right| \leq r ^ {\alpha - 2} \to 0, \]

因此 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)\) ，此时 f 在原点连续；

而当 \(\alpha \leq 2\) 时， \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)\) 不存在，此时 f 在原点间断。

2. 全增量与偏增量

设 \(P_0(x_0,y_0), P(x,y) \in D, \Delta x = x - x_0, \Delta y = y - y_0\) ，称

\[ \begin{array}{l} \Delta z = \Delta f (x _ {0}, y _ {0}) = f (x, y) - f (x _ {0}, y _ {0}) \\ = f \left(x _ {0} + \Delta x, y _ {0} + \Delta y\right) - f \left(x _ {0}, y _ {0}\right) \\ \end{array} \]

为函数 f 在点 \(P_{0}\) 的全增量.

和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当

\[ \lim_{\substack{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)\\ (x,y)\in D}}\Delta z = 0 \]

时，f 在点 \(P_{0}\) 连续.

如果在全增量中取 \(\Delta x = 0\) 或 \(\Delta y = 0\) ，则相应得到的增量称为偏增量，分别记作

\[ \Delta_ {x} f \left(x _ {0}, y _ {0}\right) = f \left(x _ {0} + \Delta x, y _ {0}\right) - f \left(x _ {0}, y _ {0}\right), \]

\[ \Delta_ {y} f \left(x _ {0}, y _ {0}\right) = f \left(x _ {0}, y _ {0} + \Delta y\right) - f \left(x _ {0}, y _ {0}\right). \]

一般说来，全增量并不等于相应的两个偏增量之和。

若一个偏增量的极限为零，如 \(\lim_{\Delta x \to 0} \Delta_x f(x_0, y_0) = 0\) , 则表示当固定 \(y = y_0\) 时，\(f(x, y_0)\) 作为 \(x\) 的函数，它在 \(x_0\) 连续.

同理，若 \(\lim_{\Delta y\to0}\Delta_yf(x_0,y_0)=0\) , 则表示当固定 \(x=x_0\) 时，\(f(x_0,y)\) 在 \(y_0\) 连续.

容易证明：当 f 在其定义域的内点 \((x_{0}, y_{0})\) 连续时，\(f(x, y_{0})\) 在 \(x_{0}\) 、 \(f(x_{0}, y)\) 在 \(y_{0}\) 都连续. 但是反过来，由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性（除非另外增加条件）.

例如二元函数

\[ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & x y \neq 0, \\ 0, & x y = 0 \end{array} \right. \]

在原点处显然不连续，但由于 \(f(0, y) = f(x, 0) = 0\) , 因此它在原点处对 \(x\) 和对 \(y\) 分别都连续.

3. 连续函数的局部性质

若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则.

下面只证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去练习.

定理 (16.7 复合函数连续性)

设函数 \(u = \varphi(x, y)\) 和 \(v = \psi(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某邻域内有定义，并在点 \(P_0\) 连续； \(f(u, v)\) 在点 \(Q_0(u_0, v_0)\) 的某邻域内有定义，并在点 \(Q_0\) 连续，其中

\[ u _ {0} = \varphi (x _ {0}, y _ {0}), v _ {0} = \psi (x _ {0}, y _ {0}). \]

则复合函数 \(g(x,y)=f(\varphi(x,y),\psi(x,y))\) 在点 \(P_{0}\) 也 (关于 \((x,y)\)) 连续.

证思路： \(\forall \varepsilon ,g(x,y)\) 要找 \(\delta\) ，而记 \(u = u(x,y),v = v(x,y)\) 的 \(\delta\) 为 \(\delta_{1}\) ， \(f(u,v)\) 的 \(\delta\) 为 \(\delta_{2}\) 取 \(u = u(x,y),v = v(x,y)\) 的 \(\varepsilon\) 为 \(\delta_{2}\)

由 f 在点 \(Q_{0}\) (关于 \((u,v)\)) 连续可知: \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta_{2} > 0\) , 使得当

\(|u-u_{0}|<\delta_{2},|v-v_{0}|<\delta_{2}\) 时，有

\[ \left| f (u, v) - f \left(u _ {0}, v _ {0}\right) \right| < \varepsilon \]

又由 \(\varphi, \psi\) 在点 \(P_0\) (关于 \((x, y)\)) 连续可知：对上述 \(\delta_2 > 0\) , \(\exists \delta > 0\) , 使得当 \(|x - x_0| < \delta\) , \(|y - y_0| < \delta\) 时，有

\[ | u - u _ {0} | = | \varphi (u, v) - \varphi (u _ {0}, v _ {0}) | < \delta_ {2}, \]

\[ | v - v _ {0} | = | \psi (u, v) - \psi (u _ {0}, v _ {0}) | < \delta_ {2}. \]

综合起来，当 \(\left|x-x_{0}\right|<\delta,\left|y-y_{0}\right|<\delta\) 时，便有

\[ \left| g (x, y) - g \left(x _ {0}, y _ {0}\right) \right| = \left| f (u, v) - f \left(u _ {0}, v _ {0}\right) \right| < \varepsilon . \]

所以 \(f(\varphi(x,y),\psi(x,y))\) 在点 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 连续.

有界闭域上连续函数的性质

这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.

定理 (16.8 最大、最小值定理)

若二元函数 \(f\) 在有界闭域 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上连续，则 \(f\) 在 \(D\) 上有界，且能取得最大值与最小值.

证 先证明 f 在 D 上有界.

倘若不然，则 \(\forall n \in N_{+}\) , 存在 \(P_{n} \in D\) , 使得

\[ \boxed {| f (P _ {n}) | > n}, \quad n = 1, 2, \dots . \tag {3} \]

于是得到一个有界点列 \(\{P_{n}\}\subset D\) ，且能使 \(\{P_{n}\}\) 中有无穷多个不同的点.

由聚点定理的推论（任一有界无限点列 \(\{P_n\} \subset \mathbb{R}^2\) 必存在收敛子列 \(\{P_{n_k}\}\) ， \(\{P_n\}\) 存在收敛子列 \(\{P_{n_k}\}\) ，设 \(\lim_{k \to \infty} P_{n_k} = P_0\) 。因 \(D\) 是闭域，从而 \(P_0 \in D\) 。又因 \(f\) 在 \(D\) 上连续，当然在点 \(P_0\) 也连续，于是有

\[ \boxed {\lim _ {k \to \infty} f \left(P _ {n _ {k}}\right) = f \left(P _ {0}\right).} \]

这与不等式 (3) 矛盾，所以 \(f\) 是 \(D\) 上的有界函数.

下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值.

为此设

\[ m = \inf f (D), \quad M = \sup f (D). \]

可证必有一点 \(Q \in D\) ，使 \(f(Q) = M\) （同理可证最小值）

如若不然，对任意 \(P \in D\) , 都有 \(M - f(P) > 0\) . 考察 D 上的正值连续函数

\[ F (P) = \frac {1}{M - f (P)}, \]

由前面的证明知道，F 在 D 上有界.

又因 f 不能在 D 上达到上确界 M，所以存在收敛点列 \(\{P_{n}\} \subset D\) ，使 \(\lim_{n \to \infty} f(P_{n}) = M\) 。于是有 \(\lim_{n \to \infty} F(P_{n}) = +\infty\) ，

这导致与 F 在 D 上有界的结论相矛盾，从而证得 f 在 D 上能取到最大值.

定理 (16.9 一致连续性定理)

若函数 f 在有界闭域 \(D \subset R^{2}\) 上连续，则 f 在 D 上一致连续.

即 \(\forall \varepsilon > 0\) ，存在只依赖于 \(\varepsilon\) 的 \(\delta > 0\) ，使得对一切满足 \(\rho(P, Q) < \delta\) 的点 \(P, Q \in D\) ，必有

\[ | f (P) - f (Q) | < \varepsilon . \]

证 本定理可参照第七章的方法，运用有限覆盖定理来证明。这里我们用聚点定理证明.

倘若 f 在 D 上连续而不一致连续，则存在某 \(\varepsilon_{0} > 0\) , 对于任意小的 \(\delta > 0\) , 例如 \(\delta = 1/n, n = 1, 2, \cdots\) , 总有相应的 \(P_{n}, Q_{n} \in D\) , 虽然 \(\rho(P_{n}, Q_{n}) < 1/n\) , 但是 \(|f(P_{n}) - f(Q_{n})| \geq \varepsilon_{0}\) .

由于 \(D\) 为有界闭域，因此存在收敛子列 \(\{P_{n_k}\} \subset \{P_n\}\) , 并设 \(\lim_{k\to \infty}P_{n_k} = P_0\in D\) . 再在 \(\{Q_n\}\) 中取出与 \(\{P_{n_k}\}\) 下标相同的子列 \(\{Q_{n_k}\}\) , 则因

\[ 0 \leq \rho \left(P _ {n _ {k}}, Q _ {n _ {k}}\right) < 1 / n _ {k} \rightarrow 0, k \rightarrow \infty , \]

有 \(\lim_{k\to\infty}Q_{n_{k}}=\lim_{k\to\infty}P_{n_{k}}=P_{0}\) . 最后，由 f 在 \(P_{0}\) 连续，得

\[ \lim _ {k \rightarrow \infty} | f (P _ {n _ {k}}) - f (Q _ {n _ {k}}) | = | f (P _ {0}) - f (P _ {0}) | = 0. \]

这与 \(\left|f\left(P_{n_{k}}\right)-f\left(Q_{n_{k}}\right)\right|\geq\varepsilon_{0}>0\) 相矛盾，所以 f 在 D 上一致连续.

定理 (16.10 介值性定理)

设函数 \(f\) 在区域 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上连续，若 \(P_1, P_2\) 为 \(D\) 中任意两点，且 \(f(P_1) < f(P_2)\) , 则对任何满足不等式

\[ f \left(P _ {1}\right) < \mu < f \left(P _ {2}\right) \tag {4} \]

的实数 \(\mu\) ，必存在点 \(P_{0} \in D\) ，使得 \(f(P_{0}) = \mu\) .

证 作辅助函数

\[ F (P) = f (P) - \mu , \quad P \in D. \]

易见 \(F\) 仍在 \(D\) 上连续，且由 (4) 式知道 \(F(P_1) < 0\) , \(F(P_2) > 0\) . 下面证明必存在 \(P_0 \in D\) , 使 \(F(P_0) = 0\) .

由于 \(D\) 为区域，我们可以用有限条都在 \(D\) 中的折线连结 \(P_{1}\) 和 \(P_{2}\) (如图 16-18). 若有某一个连接点所对应的函数值为 0, 则定理得证.

否则从一端开始逐段检查，必定存在某直线段，使得 F 在它两端的函数值异号.

不失一般性，设连结 \(P_{1}(x_{1},y_{1})\) , \(P_{2}(x_{2},y_{2})\) 的直线段含于 D, 其方程为

\[ \left\{ \begin{array}{l l} x = x _ {1} + t \left(x _ {2} - x _ {1}\right), & 0 \leq t \leq 1. \\ y = y _ {1} + t \left(y _ {2} - y _ {1}\right), \end{array} \right. \]

在此直线段上，F 变为关于 t 的复合函数:

\[ G (t) = F \left(x _ {1} + t \left(x _ {2} - x _ {1}\right), y _ {1} + t \left(y _ {2} - y _ {1}\right)\right), 0 \leq t \leq 1. \]

由于 \(G\) 为 \([0,1]\) 上的一元连续函数，且

\[ F (P _ {1}) = G (0) < 0 < G (1) = F (P _ {2}), \]

因此由一元函数根的存在定理，在 \((0,1)\) 内存在一点 \(t_{0}\) , 使得 \(G(t_{0})=0\) . 记

\[ x _ {0} = x _ {1} + t _ {0} \left(x _ {2} - x _ {1}\right), y _ {0} = y _ {1} + t _ {0} \left(y _ {2} - y _ {1}\right), \]

则有 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\in D\) ，使得

\[ F \left(P _ {0}\right) = G \left(t _ {0}\right) = 0, \text {即} f \left(P _ {0}\right) = \mu . \]

注 1 由定理 16.10 又可知道，若 \(f\) 为区域 \(D\) 上的连续函数，则 \(f(D)\) 必定是一个区间（有限或无限）.

注 2 复合函数连续性定理与一致连续性定理中的有界闭域 \(D\) 可以改为有界闭集（证明过程无原则性变化）.

但是介值性定理中所考察的点集 \(D\) 只能假设是一区域，这是为了保证它具有连通性，而一般的开集或闭集是不一定具有连通性的.

例

\(z = x^{2} + y^{2} - x - y\) 在 \(x\) 轴、 \(y\) 轴、 \(x + y \leq 4\) 所围闭域的最大、最小值

例 (3)

设 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times [c,d]\) 上连续，又有函数序列 \(\{\varphi_k(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，且

\[ c \leq \varphi_ {k} (x) \leq d, x \in [ a, b ], k = 1, 2, \dots . \]

试证 \(\{F_{k}(x)\}=\{f(x,\varphi_{k}(x))\}\) 在 \([a,b]\) 上也一致收敛.

证 思路：要找 \(K\) ，s.t. \(|F_m(x) - F_n(x)| < \varepsilon\) ，该 \(K\) 由 \(\phi_k(x)\) 提供。由于 \(F_k(x)\) 本质上是 \(f(x)\) ，由 \(f(x)\) 连续， \(\exists \delta\) ，使 \(|F_m(x) - F_n(x)| < \varepsilon\)

由一致连续性定理知，f 在 \([a, b] \times [c, d]\) 上一致连续.

于是，\(\forall \varepsilon > 0\) , \(\exists \delta > 0\) , 当 \(x \in [a, b]\) , \(y', y'' \in [c, d]\) , 且 \(|y' - y''| < \delta\) 时，总有

\[ \left| f \left(x, y ^ {\prime}\right) - f \left(x, y ^ {\prime \prime}\right) \right| < \varepsilon . \]

又 \(\{\varphi_k\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，故 \(\exists K > 0\) ，当 \(n,m > K\) 时，对一切 \(x\in [a,b]\) ，有 \(|\varphi_n(x) - \varphi_m(x)| < \delta ;\)

故又有 \(|F_{n}(x) - F_{m}(x)| = |f(x,\varphi_{n}(x)) - f(x,\varphi_{m}(x))| < \varepsilon\) 。这就证得 \(\{F_k(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛.

作业

p. 109

1 单、2

数学分析

2025-2026 (2)

Ch. 17a

沈超敏

计算机科学与技术学院